專利名稱：擴(kuò)散模擬方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及利用計(jì)算機(jī)模擬半導(dǎo)體器件制造工藝的擴(kuò)散模擬方法，更準(zhǔn)確地說，涉及雜質(zhì)擴(kuò)散到器件內(nèi)部的擴(kuò)散模擬方法。
雜質(zhì)熱擴(kuò)散是半導(dǎo)體器件制造步驟之一，在雜質(zhì)熱擴(kuò)散的計(jì)算機(jī)模擬中，把要分析的區(qū)域分成網(wǎng)格，在每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)上擴(kuò)散方程被離散化，其后，用牛頓法把擴(kuò)散方程線性地轉(zhuǎn)換成聯(lián)立線性方程，以便確定擴(kuò)散方程的解，如Ryo Dan的“加工器件的模擬技術(shù)”，pp.26-28所公開的那樣。
在低溫和雜質(zhì)是高濃度固溶體的情況下，雜質(zhì)擴(kuò)散不能用只包括作為變量的總雜質(zhì)濃度的簡(jiǎn)單的擴(kuò)散方程來(lái)描述，而需要考慮到群集的擴(kuò)散模型，例如在S.M.Sze的“VLSI工藝”，1983的398頁(yè)的表達(dá)式(12)和399頁(yè)的表達(dá)式(19)到(21)所描述的那樣。如果對(duì)擴(kuò)散模型作更一般的解釋，則它可以用下面的三個(gè)方程表示。∂C∂t=▿·(D▿Cm-ZμCa▿ψ)---(1)]]>∂Cm∂t=f(C,Cm)-----(2)]]>∂Ca∂t=g(C,Ca)-----(3)]]>在此，表達(dá)式(1)是擴(kuò)散方程，它包括可動(dòng)雜質(zhì)引起的擴(kuò)散項(xiàng)和電活性雜質(zhì)引起的電場(chǎng)漂移項(xiàng)，而表達(dá)式(2)和(3)是分別用來(lái)定義可動(dòng)雜質(zhì)濃度和電活性雜質(zhì)濃度的速率方程。C是總雜質(zhì)濃度，而Cm是可動(dòng)雜質(zhì)濃度，Ca是電活性雜質(zhì)濃度。D是雜質(zhì)的擴(kuò)散常數(shù)，μ是電場(chǎng)引起的雜質(zhì)漂移遷移率。Z是有正或負(fù)號(hào)的電活性雜質(zhì)的價(jià)，而φ是形成外加電場(chǎng)的靜電勢(shì)。此外，f(C,Cm)是代表可以使雜質(zhì)變成可動(dòng)的速率的表達(dá)式，而g(C,Ca)是代表雜質(zhì)被電激活的速率的表達(dá)式。雖然，人們認(rèn)為對(duì)幾乎所有雜質(zhì)Cm=Ca都成立，但有一種雜質(zhì)，它的擴(kuò)散可適當(dāng)?shù)啬Ｐ突癁镃=Cm＞＞Ca，如在硅中以高濃度摻雜磷的情況那樣。因此，更一般的做法是把表達(dá)式(2)的f(C,Cm)和表達(dá)式(3)的g(C,Ca)作為彼此分開的表達(dá)式來(lái)處理。
當(dāng)試圖用計(jì)算機(jī)實(shí)際解表達(dá)式(1)到(3)時(shí)，就要求在空間和時(shí)間域上進(jìn)行離散化，以便把這些表達(dá)式轉(zhuǎn)換成能用計(jì)算機(jī)來(lái)解的代數(shù)方程。對(duì)于空間離散化，使用控制體積方法，在這方法中，在對(duì)象的分析域中形成網(wǎng)，并且在每一個(gè)網(wǎng)點(diǎn)周圍應(yīng)用高斯定理∫∫∫Ω▿·AdV=∫∫∂ΩA·ndS-----(4)]]>以便去掉發(fā)散算子，其后，用有限差分代替斜率算子。在上面的方程(4)中，Ω代表指定給每一個(gè)網(wǎng)點(diǎn)的域，而Ω代表這樣的外表面部分，此外表面部分構(gòu)成指定給每一個(gè)網(wǎng)點(diǎn)的區(qū)域的邊界。此外，A代表任意指定的向量，n代表外表面的法線向量。更準(zhǔn)確地說，例如，對(duì)于如

圖1所示的二維網(wǎng)結(jié)構(gòu)，應(yīng)用轉(zhuǎn)換成下式的表達(dá)式(1)Σj≠iSij∂Ci∂t=-Σj≠iωijJij-----(5)]]>Jij=-DijCmj-Cmilij+ZμijCauψj-ψilij-----(6)]]>其中∑j≠i表示在指定網(wǎng)點(diǎn)i與相鄰的網(wǎng)點(diǎn)j之間求和，其中網(wǎng)點(diǎn)i與網(wǎng)點(diǎn)j由網(wǎng)格支線ij相連，而Sij代表分配給指定網(wǎng)點(diǎn)的域Ωi中由網(wǎng)格支線ij所貢獻(xiàn)的那一部分。ωij代表Ωi的外表面Ωi中由網(wǎng)格支線ij所貢獻(xiàn)的那一部分。Ci代表在網(wǎng)點(diǎn)i處總雜質(zhì)濃度。Jij代表雜質(zhì)從網(wǎng)點(diǎn)i向外流向網(wǎng)點(diǎn)j的雜質(zhì)流量，而Dij和μij分別代表在網(wǎng)格支線ij的中點(diǎn)的擴(kuò)散常數(shù)和電場(chǎng)遷移率，1ij代表網(wǎng)格支線ij的長(zhǎng)度，而Cmi和φi分別代表在網(wǎng)點(diǎn)i處的可動(dòng)雜質(zhì)濃度和靜電勢(shì)。Cau代表在對(duì)應(yīng)于電場(chǎng)引起的漂移流的上游側(cè)的網(wǎng)點(diǎn)處的可動(dòng)雜質(zhì)濃度，將針對(duì)上述上游的差別采取對(duì)策，以便保證數(shù)值的穩(wěn)定性。
同時(shí)，利用有限的時(shí)間步長(zhǎng)，以差分代替時(shí)間微分項(xiàng)來(lái)進(jìn)行時(shí)間域的離散化。對(duì)于時(shí)間微分項(xiàng)以外的項(xiàng)的時(shí)間計(jì)算點(diǎn)，為了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，經(jīng)常使用隱含解，例如使用當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)的計(jì)算值的反向歐拉(Euler)法。在本例子中，通過把反向Euler法應(yīng)用到早已在空間上離散化以便也在時(shí)間上也離散化的表達(dá)式(5),(6),(2)和(3)，獲得下面的方程式，應(yīng)用下面的方程式作為最后要解的方程式Σj≠iSijCi(tn)-Ci(tn-1)Δtn=-Σj≠iωijJij(tn)---(7)]]>Jij(tn)=-DijCmj(tn)-Cmi(tn)lij+ZμijCau(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij---(8)]]>Cmi(tn)-Cmi(tn-1)Δtn=f(Ci(tn),Cmi(tn))-----(9)]]>Cai(tn)-Cai(tn-1)Δtn=g(Ci(tn),Cai(tn))-----(10)]]>其中tn代表當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)，tn-1代表分析的剛過去的時(shí)間點(diǎn)。Δtn代表當(dāng)前的時(shí)間步長(zhǎng)tn-tn-1。其中上面給出的方程式對(duì)于Ci(tn)、Cmi(tn)、Cni(tn)等等是非線性的，通常，在應(yīng)用牛頓方法把它們轉(zhuǎn)換成線性方程后，才來(lái)解它們。
以圖2中流程圖形式來(lái)說明上述擴(kuò)散方程的傳統(tǒng)解法。
首先，在圖2的步驟301，在要模擬雜質(zhì)擴(kuò)散的半導(dǎo)體器件的內(nèi)部區(qū)域形成網(wǎng)格。然后，在步驟302中，在步驟301所形成的每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)上設(shè)置單一擴(kuò)散物質(zhì)(species)的起始濃度值。在步驟303中，將分析的時(shí)間點(diǎn)初始化，在步驟304中，令分析的時(shí)間點(diǎn)加一。在步驟305中，把雜質(zhì)擴(kuò)散方程、可動(dòng)雜質(zhì)濃度定義方程和電活性雜質(zhì)濃度定義方程設(shè)為聯(lián)立方程，并一起求解，以確定雜質(zhì)濃度。最后在步驟306中，檢查是否到達(dá)事先設(shè)置的分析終止時(shí)間點(diǎn)。如果已經(jīng)到達(dá)分析終止時(shí)間點(diǎn)，則結(jié)束模擬，如果沒到達(dá)分析終止時(shí)間點(diǎn)，則控制返回步驟304。
傳統(tǒng)例子所提出的技術(shù)問題是必須把擴(kuò)散方程設(shè)置為聯(lián)立方程，并與其它確定可動(dòng)雜質(zhì)濃度的另一方程和確定電活性雜質(zhì)濃度的再另一方程一起求解。當(dāng)用直接的方法來(lái)解通過牛頓方法轉(zhuǎn)換成線性方程的聯(lián)立線性方程時(shí)，計(jì)算成本的等級(jí)是O(M2)，其中方程的總數(shù)目是M，而網(wǎng)點(diǎn)的數(shù)目是N，因?yàn)镸=3N，所以，計(jì)算量是O(9N2)。
結(jié)果，當(dāng)與個(gè)別地解三個(gè)方程所需要的計(jì)算量是3×O(N2)的情況相比，需要長(zhǎng)達(dá)大約三倍的計(jì)算時(shí)間。還需要大約三倍的存儲(chǔ)空間來(lái)同時(shí)存儲(chǔ)三個(gè)方程。
本發(fā)明的一個(gè)目的是提供一種擴(kuò)散模擬方法，其中個(gè)別地解出雜質(zhì)擴(kuò)散方程以及用于定義可動(dòng)雜質(zhì)濃度的另一個(gè)方程和用于定義電活性雜質(zhì)濃度的再另一個(gè)方程，以便以較短的時(shí)間和較小的存儲(chǔ)空間來(lái)確定解，其中，雜質(zhì)擴(kuò)散方程包括從可動(dòng)雜質(zhì)導(dǎo)出的擴(kuò)散項(xiàng)和從電活性雜質(zhì)導(dǎo)出的電場(chǎng)漂移項(xiàng)。
根據(jù)本發(fā)明，在擴(kuò)散模擬方法中，三聯(lián)立方程包括雜質(zhì)擴(kuò)散方程、用于定義總雜質(zhì)濃度與可動(dòng)雜質(zhì)濃度之間關(guān)系的另一個(gè)方程和用于定義總雜質(zhì)濃度與電活性雜質(zhì)濃度之間關(guān)系的再另一個(gè)方程，其中雜質(zhì)擴(kuò)散方程包括從可動(dòng)雜質(zhì)導(dǎo)出的擴(kuò)散項(xiàng)和從電活性雜質(zhì)導(dǎo)出的電場(chǎng)漂移項(xiàng)，利用空間網(wǎng)格將三聯(lián)立方程離散化，并用計(jì)算機(jī)以數(shù)值方式對(duì)三聯(lián)立方程求解，以便確定在半導(dǎo)體器件制造過程中在器件內(nèi)雜質(zhì)分布的變化，根據(jù)本發(fā)明的擴(kuò)散模擬方法包括下面的步驟第一步驟，利用剛過的時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度，對(duì)每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)，近似地確定可動(dòng)雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比和電活性雜質(zhì)對(duì)當(dāng)前分析的時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度的比；第二步驟，通過對(duì)在第一步驟中確定的網(wǎng)格支線的相對(duì)端的網(wǎng)點(diǎn)上的值進(jìn)行內(nèi)插，確定在連接網(wǎng)點(diǎn)中相鄰網(wǎng)點(diǎn)的每一網(wǎng)格支線上可動(dòng)雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比和電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比；第三步驟，通過以網(wǎng)格支線上分析時(shí)間點(diǎn)的雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)和雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率分別乘在第二步驟中確定的在每一網(wǎng)格支線上可動(dòng)雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比和電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比，來(lái)分別確定有效雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)和有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率；和第四步驟，通過利用有效雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)和有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率，來(lái)求解在時(shí)間點(diǎn)上被離散化的、包括作為變量的總雜質(zhì)濃度的擴(kuò)散方程，以便確定在當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度。
在可動(dòng)雜質(zhì)濃度與電活性雜質(zhì)濃度彼此相等的情況下，在要確定雜質(zhì)分布變化時(shí)，可以省掉定義雜質(zhì)總濃度與可動(dòng)雜質(zhì)濃度之間關(guān)系的方程，并且利用愛因斯坦關(guān)系表達(dá)式，用擴(kuò)散常數(shù)來(lái)代表電場(chǎng)遷移率。
擴(kuò)散模擬方法可以包括第一步驟，利用以前的時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度，對(duì)每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)，近似地確定電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比；第二步驟，通過對(duì)在第一步驟中確定的網(wǎng)格支線的相對(duì)端的網(wǎng)點(diǎn)上的值進(jìn)行內(nèi)插，來(lái)確定在連接網(wǎng)點(diǎn)中相鄰網(wǎng)點(diǎn)的每一網(wǎng)格支線上電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比；第三步驟，通過以網(wǎng)格支線上分析時(shí)間點(diǎn)的雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)乘在第二步驟中確定的、在每一網(wǎng)格支線上的電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比，來(lái)確定有效雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)；和第四步驟，利用有效雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)，來(lái)求解在時(shí)間點(diǎn)上被離散化的、包括作為變量的總雜質(zhì)濃度的擴(kuò)散方程，以便確定在當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度。
當(dāng)要在第四步驟求解離散化的擴(kuò)散方程時(shí)，對(duì)于從電活性雜質(zhì)導(dǎo)出的電場(chǎng)漂移項(xiàng)，可以使用有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率，后者是通過用雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率乘在當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)在網(wǎng)點(diǎn)中的一個(gè)的上游側(cè)的電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比來(lái)獲得的。
應(yīng)用冪方法而離散化的擴(kuò)散方程可以用來(lái)代替在第四步驟中離散化的擴(kuò)散方程。
因此，因?yàn)閿U(kuò)散方程、可動(dòng)雜質(zhì)濃度定義方程和電活性雜質(zhì)濃度定義方程不作為聯(lián)立方程來(lái)處理，而是個(gè)別地求解，故與求解作為聯(lián)立方程的方程的情況相比，能夠用比較短的計(jì)算時(shí)間和用比較小的存儲(chǔ)空間來(lái)進(jìn)行雜質(zhì)擴(kuò)散模擬。
此外，當(dāng)要求解離散化的擴(kuò)散方程時(shí)，對(duì)于從電活性雜質(zhì)導(dǎo)出的電場(chǎng)漂移項(xiàng)，可以使用有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率、以較高的精度來(lái)確定總的雜質(zhì)濃度的值，而所述有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率是通過用雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率乘在當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)在網(wǎng)點(diǎn)中的一個(gè)的上游側(cè)的電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比來(lái)獲得的。
此外，在使用對(duì)其應(yīng)用了冪方法的離散化的擴(kuò)散方程的情況下，不需要事先鑒別網(wǎng)點(diǎn)i和j中的哪一個(gè)是漂移流的上游側(cè)。
圖1是說明用于擴(kuò)散方程空間離散化的網(wǎng)格和控制體積的概念的簡(jiǎn)圖；圖2是說明根據(jù)傳統(tǒng)技術(shù)的擴(kuò)散方程數(shù)值計(jì)算方法的處理程序的流程圖；和圖3是說明根據(jù)本發(fā)明的擴(kuò)散方程數(shù)值計(jì)算方法的處理程序的流程圖。
(本發(fā)明的第一實(shí)施例)下面描述本發(fā)明的第一實(shí)施例。
在本發(fā)明中，利用總的雜質(zhì)濃度、與當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)的擴(kuò)散方程無(wú)關(guān)地求解用于確定可動(dòng)雜質(zhì)濃度的方程和用于確定電活性雜質(zhì)濃度的另一方程，以便首先確定可動(dòng)雜質(zhì)濃度和電活性雜質(zhì)濃度的近似值，上述的總的雜質(zhì)濃度是在剛過去的時(shí)間點(diǎn)上擴(kuò)散方程的解的結(jié)果。從以這種方式所確定的在當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)在網(wǎng)點(diǎn)i處的可動(dòng)雜質(zhì)濃度的近似值Cmi(tn)和剛過去的時(shí)間點(diǎn)上總的雜質(zhì)濃度Ci(tn-1)，計(jì)算它們之間的比值C‾mi(tn)Ci(tn-1)=αi-----(11)]]>并且從電活性雜質(zhì)濃度的近似值Cai(tn)和剛過去的時(shí)間點(diǎn)上總的雜質(zhì)濃度Ci(tn-1)，計(jì)算它們之間的比值C‾ai(tn)Ci(tn-1)=βi-----(12)]]>此外，對(duì)比值進(jìn)行內(nèi)插來(lái)確定在網(wǎng)格支線上的比值αij,βij。此外，根據(jù)Deffij=Dijαij(13)μeffij=μijβij(14)計(jì)算在網(wǎng)格支線上的有效擴(kuò)散常數(shù)Deffij
和有效電場(chǎng)遷移率μeffij然后，利用這樣確定的值，以下面的方式來(lái)近似計(jì)算在網(wǎng)格支線ij和在當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)的雜質(zhì)流量。Jij(tn)=-Dij{Cmj(tn)Cj(tn)}Cj(tn)-{Cmi(tn)Ci(tn)}Ci(tn)lij]]>+Zμij{Cau(tn)Cu(tn)}Cu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij]]>≈-DijαjCj(tn)-αiCi(tn)lij+ZμijβuCu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij]]>≈-DijαijCj(tn)-Ci(tn)lij+ZμijβijCu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij]]>=-DijeffCj(tn)-Ci(tn)lij+ZμijeffCu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij---(15)]]>用表達(dá)式(15)代替表達(dá)式(8)來(lái)形成擴(kuò)散方程(7)，后者包括作為變量的總雜質(zhì)濃度，并且通過求解擴(kuò)散方程(7)來(lái)獲得所述當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度。
本發(fā)明中，不需要以聯(lián)立方程的形式來(lái)形成擴(kuò)散方程，也不必與用于確定可動(dòng)雜質(zhì)濃度的另一方程和用于確定電活性雜質(zhì)濃度的再另一方程一起同時(shí)求解擴(kuò)散方程。因此，當(dāng)與傳統(tǒng)技術(shù)相比，能夠減少計(jì)算時(shí)間和要用的存儲(chǔ)空間。
(本發(fā)明的第二實(shí)施例)下面參考附圖，把求解砷在硅內(nèi)的擴(kuò)散方程的情況作為例子，詳細(xì)地描述本發(fā)明的第二實(shí)施例。
表達(dá)式(16)和(17)是砷的包含群集的擴(kuò)散方程，而表達(dá)式(18)是用于確定靜電勢(shì)的泊松方程。∂CAs∂t=▿·(D▿CAsa-qDkTCAsa▿ψ)-----(16)]]>CAs=CAsa+(KAsCAsa)mAs-----(17)]]>▿·(ϵ▿ψ)=-q[CAsa-niexp(qψkT)+niexp(-qψkT)]---(18)]]>其中CAs是砷的總濃度，而CAsa是電活性砷的濃度。KAs和mAs是表示砷群集程度的模型參數(shù)。ε是硅的介電常數(shù)，k是波耳茲曼常數(shù)，T是絕對(duì)溫度，而q是單位電荷。ni是本征載流子密度。對(duì)于砷，因?yàn)橛锌赡苣Ｐ突癁椤翱蓜?dòng)砷濃度=電活性砷濃度”，故可以省去用于確定可動(dòng)雜質(zhì)濃度的方程。同時(shí)，利用愛因斯坦關(guān)系表達(dá)式μ=qDkT]]>(19)用擴(kuò)散常數(shù)來(lái)表示電場(chǎng)遷移率。
圖3說明根據(jù)本發(fā)明的雜質(zhì)擴(kuò)散模擬方法的一個(gè)實(shí)施例。首先在圖3的步驟101中，在要模擬雜質(zhì)擴(kuò)散的半導(dǎo)體器件的內(nèi)部區(qū)域形成網(wǎng)格。然后，在步驟102中，在步驟101中形成的每一個(gè)網(wǎng)點(diǎn)上設(shè)置單一擴(kuò)散物質(zhì)的起始濃度值。在步驟103中，將分析時(shí)間點(diǎn)初始化，并在步驟104中，分析時(shí)間點(diǎn)加一。在步驟105中，利用總的雜質(zhì)濃度來(lái)對(duì)每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)求解用于確定電活性雜質(zhì)濃度的方程，以便近似地確定電活性雜質(zhì)濃度，上述的總的雜質(zhì)濃度是在剛過去的時(shí)間點(diǎn)求解擴(kuò)散方程的結(jié)果。在本實(shí)施例作為例子而提出的砷擴(kuò)散模型中，CAsa用牛頓法或類似的方法，通過求解下面的方程CAsa(tn)+(KAsCAsa(tn))mAs=CAs(tn-1)(20)來(lái)確定。
從這樣確定的值，確定每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)電活性雜質(zhì)濃度近似值與以前時(shí)間點(diǎn)的總砷濃度之比C‾Asa(tn)CAs(tn-1)=α-----(21)]]>此外，因?yàn)橐呀?jīng)確定了電活性雜質(zhì)濃度近似值，也就能在這階段利用這近似值來(lái)求解表達(dá)式(18)的泊松方程。實(shí)際上，求解下面的方程▿·(ϵ▿Ψ(tn))=-q[C‾Asa(tn)-niexp(qψ(tn)kT)+niexp(-qψ(tn)kT)]---(22)]]>然后，在步驟106中，通過對(duì)在步驟105所確定的網(wǎng)格支線的相對(duì)兩端處的網(wǎng)點(diǎn)的值進(jìn)行內(nèi)插，來(lái)確定在每條網(wǎng)格支線上的α值。在本實(shí)施例中，所述相對(duì)端點(diǎn)之間的平均值被用來(lái)確定α值，如αij=αi+αj2-----(23)]]>在步驟107中，用αij乘在當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)和在每一條網(wǎng)格支線上的砷擴(kuò)散常數(shù)，來(lái)確定有效雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)。在步驟108中，求解包括作為變量的總雜質(zhì)濃度并使用有效擴(kuò)散常數(shù)的擴(kuò)散方程，來(lái)確定在當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度。在砷的擴(kuò)散模型中，把∂CAs∂t=▿·[Deff(▿CAs-qkTCAs▿ψ)]-----(24)]]>
作為在各個(gè)網(wǎng)點(diǎn)i處離散化的方程Σj≠isijCAsi(tn)-CAsi(tn-1)Δtn=-Σj≠iωijJij(tn)---(25)]]>Jij(tn)=-Dijeff[CAsj(tn)-CAsi(tn)lij+qkTCAsu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij]---(26)]]>來(lái)求解。在最后的步驟109中，檢查是否已經(jīng)到達(dá)事先指定的分析終止時(shí)間點(diǎn)。如果到達(dá)分析終止時(shí)間點(diǎn)，則終止模擬，否則，控制返回步驟104。
在本發(fā)明中，在剛過的時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度首先被用來(lái)近似地確定電活性雜質(zhì)濃度，然后，假定電活性雜質(zhì)濃度的近似值與在剛過的時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度之間的比值等于電活性雜質(zhì)濃度的真實(shí)值與在剛過的時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度之間的比值，以便確定有效擴(kuò)散常數(shù)。因此，最后確定的擴(kuò)散物質(zhì)濃度并不嚴(yán)格地滿足原來(lái)的擴(kuò)散方程，而存在近似誤差?？墒牵@種誤差有O(δtk)的數(shù)量級(jí)，其中時(shí)間步長(zhǎng)以δtk表示，并且，通過適當(dāng)?shù)乜刂撇介L(zhǎng)，可把誤差壓到低于固定值。因此，根據(jù)本發(fā)明，當(dāng)與傳統(tǒng)例子相比時(shí)，解的精度不會(huì)明顯變壞。另一方面，如以上在本發(fā)明的概述中所述的，當(dāng)與要一起解原始方程的另一種情況相比時(shí)，本發(fā)明允許以比較短的計(jì)算時(shí)間和用比較小的存儲(chǔ)空間來(lái)進(jìn)行雜質(zhì)擴(kuò)散模擬。
(本發(fā)明的第三實(shí)施例)下面參考附圖、把求解砷在硅內(nèi)的擴(kuò)散方程的情況作為例子、詳細(xì)地描述本發(fā)明的第三實(shí)施例。
在本實(shí)施例中，對(duì)于有效電場(chǎng)遷移率，使用方程βij=αij=αi+αj2-----(27)]]>以便用網(wǎng)格支線相對(duì)端點(diǎn)之間的平均值來(lái)表示待乘的βij?？墒牵?yàn)槠屏魇苌嫌蝹?cè)的物理性質(zhì)影響，所以，如果也用上游側(cè)的值來(lái)表示β，例如βij=βu(28)則能改善近似程度。通過采用這種近似方法，表達(dá)式(26)可表示為Jij(tn)=-DijeffCAsj(tn)-CAsi(tn)lij+qμijeffkTCAsu(tn)ψj(tn)-ψi(tn)lij---(29)]]>Dijeff=Dijαi+αj2-----(30)]]>μeffij=μijβu(31)通過利用雜質(zhì)流量求解這種擴(kuò)散方程，能夠以更高的精度確定總雜質(zhì)濃度的值。
(本發(fā)明的第四實(shí)施例)下面描述本發(fā)明的第四實(shí)施例。
當(dāng)用象本發(fā)明中那樣作為變量的、與雜質(zhì)流量的冪相同的總雜質(zhì)濃度來(lái)描述擴(kuò)散項(xiàng)和漂移時(shí)項(xiàng)時(shí)，其中應(yīng)用了冪方法的下面的表達(dá)式經(jīng)常用來(lái)代替表達(dá)式(8)。Jij(tn)=qZμijefflijkTq{B[Zμijeff(ψj(tn)-ψi(tn))Dijeff]Cj(tn)]]>-B[Zμijeff(ψi(tn)-ψj(tn))Dijeff]Ci(tn)-----(32)]]>B(x)=xexp(x)-1-----(33)]]>
表達(dá)式(32)的好處在于不需要事先鑒別網(wǎng)點(diǎn)i和j中哪一個(gè)是在漂移流的上游側(cè)。當(dāng)分配不同的變量時(shí)，如在原始的擴(kuò)散方程(1)的情況那樣，上述的冪方法就不能使用，在原始的擴(kuò)散方程(1)中，Cm用于擴(kuò)散項(xiàng)而Ca用于漂移項(xiàng)。
如上所述，根據(jù)本發(fā)明的雜質(zhì)擴(kuò)散模擬方法的優(yōu)點(diǎn)在于因?yàn)椴话褦U(kuò)散方程、可動(dòng)雜質(zhì)濃度定義方程和電活性雜質(zhì)濃度定義方程作為聯(lián)立方程來(lái)處理，而是分別地求解，所以，當(dāng)與作為聯(lián)立方程來(lái)求解方程的情況相比，能夠以比較短的計(jì)算時(shí)間和用比較小的存儲(chǔ)空間來(lái)進(jìn)行雜質(zhì)擴(kuò)散模擬。
此外，當(dāng)要求解離散化的擴(kuò)散方程時(shí)，對(duì)于從電活性雜質(zhì)導(dǎo)出的電場(chǎng)漂移項(xiàng)，通過使用有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率，能夠以較高的精度確定總雜質(zhì)濃度值，上述的有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率是通過把雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率乘電活性雜質(zhì)對(duì)在當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)在網(wǎng)點(diǎn)中的一個(gè)的上游側(cè)的總雜質(zhì)濃度的比值而獲得的。
本發(fā)明的雜質(zhì)擴(kuò)散模擬方法的進(jìn)一步的優(yōu)點(diǎn)在于，當(dāng)它利用其中應(yīng)用了冪方法的離散化的擴(kuò)散方程時(shí)，不需要事先鑒別網(wǎng)點(diǎn)i和j中哪一個(gè)是在漂移流的上游側(cè)。
權(quán)利要求
1．一種擴(kuò)散模擬方法，其中，三聯(lián)立方程包括雜質(zhì)擴(kuò)散方程、用于定義總雜質(zhì)濃度與可動(dòng)雜質(zhì)濃度之間關(guān)系的另一個(gè)方程和用于定義總雜質(zhì)濃度與電活性雜質(zhì)濃度之間關(guān)系的再另一個(gè)方程，其中雜質(zhì)擴(kuò)散方程包括從可動(dòng)雜質(zhì)導(dǎo)出的擴(kuò)散項(xiàng)和從電活性雜質(zhì)導(dǎo)出的電場(chǎng)漂移項(xiàng)，用空間網(wǎng)格來(lái)使三聯(lián)立方程離散化，并用計(jì)算機(jī)以數(shù)值方式求解三聯(lián)立方程，以便確定在半導(dǎo)體器件制造過程中器件內(nèi)雜質(zhì)分布的變化，其特征在于這種擴(kuò)散模擬方法包括下面的步驟第一步驟，利用剛過的時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度，對(duì)每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)，近似地確定在當(dāng)前的分析的時(shí)間點(diǎn)的可動(dòng)雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比和電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比；第二步驟，通過對(duì)在第一步驟中確定的網(wǎng)格支線的相對(duì)端的網(wǎng)點(diǎn)上的值進(jìn)行內(nèi)插，來(lái)確定在連接網(wǎng)點(diǎn)中相鄰網(wǎng)點(diǎn)的每一網(wǎng)格支線上可動(dòng)雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比和電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比，第三步驟，以網(wǎng)格支線上的分析時(shí)間點(diǎn)的雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)和雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率分別乘在第二步驟中確定的每一網(wǎng)格支線上可動(dòng)雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比和電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比，來(lái)分別確定有效雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)和有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率，和第四步驟，利用有效雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)和有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率，來(lái)求解在時(shí)間點(diǎn)上被離散化的、包括作為變量的總雜質(zhì)濃度的擴(kuò)散方程，以便確定在當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度。
2．權(quán)利要求1的擴(kuò)散模擬方法，其特征在于在可動(dòng)雜質(zhì)濃度與電活性雜質(zhì)濃度彼此相等的情況下，在要確定雜質(zhì)分布變化時(shí)，省略定義總雜質(zhì)濃度與可動(dòng)雜質(zhì)濃度之間關(guān)系的方程，以及通過利用愛因斯坦關(guān)系表達(dá)式，用擴(kuò)散常數(shù)來(lái)表示所述電場(chǎng)遷移率。
3．權(quán)利要求2的擴(kuò)散模擬方法，其特征在于包括第一步驟，利用以前的時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度，對(duì)每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)，近似地確定電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比，第二步驟，通過對(duì)在第一步驟中確定的網(wǎng)格支線的相對(duì)端的網(wǎng)點(diǎn)上的值進(jìn)行內(nèi)插，來(lái)確定在連接網(wǎng)點(diǎn)中相鄰網(wǎng)點(diǎn)的每一網(wǎng)格支線上電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比，第三步驟，以網(wǎng)格支線上的分析時(shí)間點(diǎn)的雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)乘在第二步驟中確定的、每一網(wǎng)格支線上的電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比，來(lái)確定有效雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)，和第四步驟，通過利用所述有效雜質(zhì)擴(kuò)散常數(shù)來(lái)求解在時(shí)間點(diǎn)上被離散化的、包括作為變量的總雜質(zhì)濃度的擴(kuò)散方程，以便確定當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度。
4．權(quán)利要求1的擴(kuò)散模擬方法，其特征在于當(dāng)要在第四步驟求解離散化的擴(kuò)散方程時(shí)，對(duì)于從電活性雜質(zhì)導(dǎo)出的電場(chǎng)漂移項(xiàng)，可以使用所述有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率，后者是通過用雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率乘在當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)在網(wǎng)點(diǎn)中的一個(gè)的上游側(cè)的電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比來(lái)獲得的。
5．權(quán)利要求3的擴(kuò)散模擬方法，其特征在于當(dāng)要在第四步驟求解離散化的擴(kuò)散方程時(shí)，對(duì)于從電活性雜質(zhì)導(dǎo)出的電場(chǎng)漂移項(xiàng)，可以使用所述有效雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率，后者是通過用雜質(zhì)電場(chǎng)遷移率乘在當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)在網(wǎng)點(diǎn)中的一個(gè)的上游側(cè)的電活性雜質(zhì)對(duì)總雜質(zhì)濃度的比來(lái)獲得的。
6．權(quán)利要求1的擴(kuò)散模擬方法，其特征在于應(yīng)用冪方法離散化的擴(kuò)散方程用來(lái)代替在第四步驟中離散化的擴(kuò)散方程。
7．權(quán)利要求3的擴(kuò)散模擬方法，其特征在于應(yīng)用冪方法離散化的擴(kuò)散方程用來(lái)代替在第四步驟中離散化的擴(kuò)散方程。
8．權(quán)利要求4的擴(kuò)散模擬方法，其特征在于應(yīng)用冪方法離散化的擴(kuò)散方程用來(lái)代替在第四步驟中離散化的擴(kuò)散方程。
9．權(quán)利要求5的擴(kuò)散模擬方法，其特征在于應(yīng)用冪方法離散化的擴(kuò)散方程用來(lái)代替在第四步驟中離散化的擴(kuò)散方程。
全文摘要
對(duì)于每個(gè)網(wǎng)點(diǎn),利用總的雜質(zhì)濃度來(lái)求解用于確定電活性雜質(zhì)濃度的方程,以便近似地確定電活性雜質(zhì)濃度,上述總的雜質(zhì)濃度是在剛過去的時(shí)間點(diǎn)上求解擴(kuò)散方程的結(jié)果。確定每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)的電活性雜質(zhì)濃度的近似值與在剛過的時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度之間的比值。通過對(duì)每條網(wǎng)格支線的相對(duì)端的網(wǎng)點(diǎn)上的值進(jìn)行內(nèi)插,來(lái)確定這比值。求解包括作為變量的總雜質(zhì)濃度的、應(yīng)用了有效擴(kuò)散常數(shù)的擴(kuò)散方程,以便確定當(dāng)前分析時(shí)間點(diǎn)的總雜質(zhì)濃度。
文檔編號(hào)H01L21/22GK1216377SQ9812146
公開日1999年5月12日 申請(qǐng)日期1998年10月30日 優(yōu)先權(quán)日1997年10月31日
發(fā)明者熊代成孝 申請(qǐng)人:日本電氣株式會(huì)社