本發(fā)明涉及一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法，尤其涉及一種考慮測量誤差加權(quán)復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法，屬于材料力學(xué)性能表征、機(jī)械制造和數(shù)值分析技術(shù)鄰域。

背景技術(shù)：

顆粒增強(qiáng)金屬基復(fù)合材料具有低溫性能，高強(qiáng)重比，良好的耐磨性和低熱膨脹系數(shù)，但機(jī)械加工性差的特點(diǎn)。為了實(shí)現(xiàn)顆粒增強(qiáng)金屬基復(fù)合材料加工所要求的質(zhì)量，實(shí)驗(yàn)研發(fā)成本往往很高，且耗時長。因此，針對難加工材料加工，采用有限元仿真技術(shù)研究切削的機(jī)理，優(yōu)化切削工藝和再設(shè)計刀具具有巨大的應(yīng)用價值和現(xiàn)實(shí)意義。為了實(shí)現(xiàn)數(shù)值計算與實(shí)際加工實(shí)驗(yàn)相匹配的結(jié)果，開發(fā)在切削加工中能反映材料力學(xué)行為的本構(gòu)模型至關(guān)重要。建立和應(yīng)用合適本構(gòu)模型的關(guān)鍵點(diǎn)在于所采用的本構(gòu)模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的匹配性，因?yàn)楸緲?gòu)模型應(yīng)該能反映在材料加工應(yīng)變率、溫度范圍內(nèi)如應(yīng)力、應(yīng)變和溫度等熱力學(xué)行為。因此，有必要從工程應(yīng)用角度通過大量實(shí)驗(yàn)，觀察得出材料本構(gòu)模型參數(shù)并確定參數(shù)的準(zhǔn)確性。由于變形過程，應(yīng)變率和溫度之間的相互依賴和相互聯(lián)系，量化材料本構(gòu)參數(shù)是很困難的，僅基于一些可用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)而不管數(shù)據(jù)的可靠性和測量誤差來改進(jìn)經(jīng)典材料本構(gòu)模型是非常有爭議的。在原先的科學(xué)假說中，經(jīng)典本構(gòu)模型的改進(jìn)只是通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計確定，由于在本構(gòu)方程式中與實(shí)際物理意義存在顯著差異，因此這種改進(jìn)對于后續(xù)模型的開發(fā)沒有借鑒和指導(dǎo)意義，很少會被采用。對某種材料本構(gòu)模型和參數(shù)確定的解決方案：能實(shí)現(xiàn)經(jīng)典材料本構(gòu)模型的合理應(yīng)用，即在科學(xué)假設(shè)前提下使用合適的數(shù)值計算工具確定本構(gòu)方程材料參數(shù)。

大多數(shù)工程材料在低變形速率(準(zhǔn)靜態(tài))、高變形速率(動態(tài))或溫度下表現(xiàn)出不同的變形特性，這給能反映不同荷載工況條件下材料力學(xué)響應(yīng)的本構(gòu)模型建立和參數(shù)確定工作帶來巨大挑戰(zhàn)。johnson-cook本構(gòu)模型是用于描述高應(yīng)變，高應(yīng)變率和高溫下塑性變形行為的最常用的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，特別適用于機(jī)械加工過程的數(shù)值計算。與其他模型相比，其獨(dú)特的優(yōu)勢在于其在宏觀尺度預(yù)測的準(zhǔn)確性和簡潔性，即只需要確定幾個參數(shù)，就可以很好地描述材料機(jī)械行為。

在johnson-cook本構(gòu)方程中，其流動應(yīng)力是應(yīng)變，應(yīng)變率和溫度項(xiàng)的乘積形式，分別代表材料塑性行為的應(yīng)力強(qiáng)化，應(yīng)變強(qiáng)化和熱軟化效應(yīng)。

其中，σ是材等效流動應(yīng)力，εp是等效塑性應(yīng)變，為正則化的應(yīng)變率，和分別表示參考應(yīng)變率和等效塑性應(yīng)變率。需要待確定的五個經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的物理意義定義如下：a是材料初始屈服強(qiáng)度，b和n是應(yīng)變硬化系數(shù)和指數(shù)，c是無量綱應(yīng)變速率硬化系數(shù)，m是熱軟化指數(shù)。johnson-cook本構(gòu)模型中這些材料參數(shù)通過準(zhǔn)靜態(tài)壓縮和霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)(shpb)獲得的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)來擬合確定的。t^*是正則化后的溫度項(xiàng)，由下式表示：

其中，t是材料溫度，tmelt是熔點(diǎn)，troom是室溫或參考溫度。johnson-cook模型本構(gòu)方程(1)中很重要的一點(diǎn)在于確定應(yīng)變率與變形溫度之間的耦合關(guān)系。眾所周知，塑性變形產(chǎn)生的熱會導(dǎo)致的溫度升高特別是在高變形率下，因此應(yīng)變率和溫度是耦合的。因此，只有當(dāng)溫度升高與工件體溫相比可以忽略不計時，實(shí)驗(yàn)擬合的數(shù)據(jù)才能有效地將johnson-cook材料本構(gòu)模型中和t^*項(xiàng)解耦合。

在確定johnson-cook本構(gòu)方程中的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)時，可以在已發(fā)表的文獻(xiàn)中找到不同的方法。其中，廣泛用于確定金屬及合金本構(gòu)模型材料參數(shù)的一種確定方法，具有以下步驟：

1.在參考應(yīng)變率和室溫troom下，從準(zhǔn)靜態(tài)試驗(yàn)中確定和修正初始屈服應(yīng)力a；

2.根據(jù)本構(gòu)方程(1)中的彈塑性項(xiàng)對數(shù)變換獲得下面方程，根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)流動應(yīng)力-應(yīng)變曲線運(yùn)用線性回歸的方法擬合確定系數(shù)b和n；

ln(σ-a)＝lnb+nlnεp(3)

3.通過在相同應(yīng)變下在室溫/參考溫度的shpb試驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)，將對線性擬合，確定應(yīng)變速率硬化系數(shù)c：

4.根據(jù)上述方法，在不同的應(yīng)變下獲得一組c值，并求平均值作為c的最終值；

5.通過相同應(yīng)變或應(yīng)變率下的數(shù)據(jù)做對ln(t^*)的線性回歸，其斜率值為m的值；

6.計算不同的應(yīng)力或應(yīng)變率下的m之，求平均值最終找到m的估計值。

然而，采用上述傳統(tǒng)方法確定材料本構(gòu)模型參數(shù)的一個困難在于，在很多情況下，材料的屈服點(diǎn)往往不能被明確確定，特別是復(fù)合材料的初始屈服應(yīng)力，工程中常采用條件屈服強(qiáng)度，即以等效塑性變形的0.2％對應(yīng)的應(yīng)力作為初始屈服強(qiáng)度a。

此外，確定率相關(guān)硬化系數(shù)c的另一個困難是，在不同的應(yīng)變率下，取平均值的c并不能與在所有應(yīng)變率范圍內(nèi)應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)相匹配，因此，找到具有小方差的c的平均值是不可行的。這主要?dú)w因于測試數(shù)據(jù)的隨機(jī)性(用于本構(gòu)方程參數(shù)確定的測試數(shù)據(jù)中包含測量誤差)，或者在不同材料類型、不同時間或不同尺度下本構(gòu)模型的應(yīng)用的精確性存在差異。參數(shù)m的擬合過程采用與確定材料系數(shù)c相同的求解程序，使用相同應(yīng)變或應(yīng)變率，不同溫度下的數(shù)據(jù)線性擬合m的值，這與擬合參數(shù)c存在相同的問題：在不同溫度范圍內(nèi)應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)匹配性問題。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

針對現(xiàn)有技術(shù)中存在的本構(gòu)方程參數(shù)確定方法精度低、工序繁雜且不能準(zhǔn)確可靠地反映材料力學(xué)性能等問題，本發(fā)明公開的一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法要解決的技術(shù)問題是：提供一種考慮測量誤差加權(quán)的復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法，能夠提高本構(gòu)方程參數(shù)確定方法精度、降低工序繁雜度，且提高材料力學(xué)模型預(yù)測的準(zhǔn)確性和可靠度。

本發(fā)明的目的是通過下述技術(shù)方案實(shí)現(xiàn)的。

本發(fā)明公開的一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法，具體步驟如下：

步驟一、建立基于卡方誤差準(zhǔn)則本構(gòu)方程參數(shù)優(yōu)化的度量模型。

復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定優(yōu)化問題就是求解所有測試數(shù)據(jù)點(diǎn)上的非線性最小二乘問題，用卡方誤差準(zhǔn)則作為參數(shù)優(yōu)化的度量模型。

其中，σ^exp是實(shí)驗(yàn)觀察到的流動應(yīng)力的數(shù)據(jù)，σ^model是由獨(dú)立變量x以及材料參數(shù)向量p構(gòu)成的本構(gòu)方程函數(shù)值，n是總的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，而w是相應(yīng)的加權(quán)矩陣，ωi為對應(yīng)于觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)i的對角加權(quán)因子。

由此對于觀察到的數(shù)據(jù)的評估是基于測量誤差而不是簡簡單單地武斷設(shè)置加權(quán)因子。實(shí)際上，在總體觀測中，測量噪聲隨著不同的應(yīng)變率和溫度荷載工況條件而有很大的不同，測量噪聲(數(shù)據(jù)的波動性)隨著應(yīng)變率增加或溫度而增加，在聯(lián)合求解時，由于優(yōu)化模型是對所有測量數(shù)據(jù)的偏差的平方求最小值，如果不考慮測量誤差加權(quán)的話，優(yōu)化模型僅僅能擬合測量噪聲很大的數(shù)據(jù)，而測量誤差小的數(shù)據(jù)點(diǎn)對總體模型的影響很小。

步驟二、對參數(shù)優(yōu)化的度量模型(6)參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化模型分解。

參數(shù)優(yōu)化的度量模型(6)已經(jīng)考慮到在準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)加載條件下不同的力學(xué)響應(yīng)，所以在此處將卡方誤差準(zhǔn)則分為準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)模型和動態(tài)部力學(xué)模型

準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)模型如下：

動態(tài)力學(xué)模型如下：

其中，和分別為準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)力學(xué)實(shí)驗(yàn)的觀察值；是冪次定律的準(zhǔn)靜態(tài)彈塑性模型pstatic＝(a,b,n)是準(zhǔn)靜態(tài)待確定的參數(shù)向量，是和本構(gòu)方程(1)具有相同形式的動態(tài)本構(gòu)方程。

步驟三、確定各加載條件下與測量誤差相對應(yīng)的加權(quán)因子。

根據(jù)方程(10)和(12)將包括準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)部分的雙目標(biāo)非線性最小二乘法優(yōu)化問題通過不同的加權(quán)因子聯(lián)系起來：

其中，和分別為準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)觀測的加權(quán)對角矩陣。通過加權(quán)殘差分析，確定每個載荷工況下實(shí)驗(yàn)的測量誤差都處在同一個數(shù)量級上，從而使每個載荷工況的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化中均起到作用。值得注意得是，在各個荷載工況下的測量誤差滿足正態(tài)分布規(guī)律，因此，相同變形速率和溫度荷載下的測量誤差是相同的，測量數(shù)據(jù)和“真實(shí)”值之間的實(shí)驗(yàn)偏差被視為滿足均值為0、標(biāo)準(zhǔn)偏差為的高斯分布的隨機(jī)測量噪聲，其中標(biāo)準(zhǔn)偏差隨著應(yīng)變率和溫度變化。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)值σ^exp和待擬合本構(gòu)模型數(shù)據(jù)σ^model之間的關(guān)系滿足如下關(guān)系：

由于優(yōu)化之前的每個荷載工況下的測量誤差的方差還未可知，所以需要先確定每個荷載工況條件下的測量誤差的方差進(jìn)行分析，利用最小二乘法進(jìn)行評價如下：

其中i＝1,2,…對應(yīng)于第i種應(yīng)變率和變形溫度荷載工況條件。是待確定的本構(gòu)方程材料參數(shù)數(shù)量，是在第i種載荷工況下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量。在待確定的參數(shù)化本構(gòu)方程(1)中，至少需要五組試驗(yàn)數(shù)據(jù)才能求解該本構(gòu)方程。為避免在擬合過程中出現(xiàn)奇異矩陣，自由度數(shù)(dof)被設(shè)為在每個荷載條件下的權(quán)重因子通過公式(16)單獨(dú)確定，第i種荷載條件下的對角權(quán)重因子ωi在準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)模型中表示為：

ωi在動態(tài)力學(xué)模型中表示為：

因此，根據(jù)權(quán)重因子矩陣w的定義，看似是準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)的雙目標(biāo)優(yōu)化問題實(shí)際上一個取決于荷載工況數(shù)量的多目標(biāo)最小化問題。因此，問題最終轉(zhuǎn)化為最小化有不同變形速率和溫度荷載t下測量誤差加權(quán)的實(shí)驗(yàn)流應(yīng)力數(shù)據(jù)與本構(gòu)方程函數(shù)值的偏差平方和的卡方誤差。

步驟四、根據(jù)驟二、三對步驟一中度量模型(6)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，確定步驟一中度量模型(6)參數(shù)，即完成用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化。

還包括步驟五：將步驟一至四所述一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法確定的復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)，用于材料力學(xué)性能表征、機(jī)械制造和數(shù)值分析領(lǐng)域，解決相應(yīng)工程技術(shù)問題。

步驟一中的復(fù)合材料本構(gòu)方程具有一般通用性，適用于但不限于johnson-cook本構(gòu)方程，所述的johnson-cook本構(gòu)方程，流動應(yīng)力σ是應(yīng)變εp，應(yīng)變率和溫度項(xiàng)t^*的乘積形式，分別代表材料塑性行為的應(yīng)力強(qiáng)化，應(yīng)變強(qiáng)化和熱軟化效應(yīng)。

其中，σ是材等效流動應(yīng)力，εp是等效塑性應(yīng)變，為正則化的應(yīng)變率，和分別表示參考應(yīng)變率和等效塑性應(yīng)變率。需要待確定的五個經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的物理意義定義如下：a是材料初始屈服強(qiáng)度，b和n是應(yīng)變硬化系數(shù)和指數(shù)，c是無量綱應(yīng)變速率硬化系數(shù)，m是熱軟化指數(shù)。johnson-cook本構(gòu)模型中這些材料參數(shù)通過準(zhǔn)靜態(tài)壓縮和霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)(shpb)獲得的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)來擬合確定的。t^*是正則化后的溫度項(xiàng)，由下式表示：

其中，t是材料溫度，tmelt是熔點(diǎn)，troom是室溫或參考溫度。

本構(gòu)方程(1)中的jc模型涉及的一組五個參數(shù)(p＝(a，b，c，n，m))，上述參數(shù)的確定能夠轉(zhuǎn)化為以等效塑性應(yīng)變εp、等效塑性應(yīng)變率和變形溫度t三個獨(dú)立變量的待擬合的參數(shù)化本構(gòu)方程與測試數(shù)據(jù)之間偏差或殘差的平方和的加權(quán)求和的最小化問題。

步驟四的具體實(shí)現(xiàn)方法為：

步驟4.1：結(jié)合梯度下降算法和高斯牛頓法求解公式(8)。

步驟4.1具體實(shí)現(xiàn)方法為：

步驟4.1.1：利用梯度下降算法求解公式(8)。

利用公式(21)所示的梯度下降算法求解公式(8)，即卡方目標(biāo)函數(shù)χ²(p)對參數(shù)向量p進(jìn)行微分，產(chǎn)生梯度下降形式：

其中是一階n^pnt×m^para雅克比行列式，以j表示，它反映的是模型函數(shù)σ^model對于參數(shù)p的局部靈敏度。本構(gòu)方程(1)的j行列式中在第j個參數(shù)條件下的第i次觀測數(shù)據(jù)jij定義為：

根據(jù)公式(21)，參數(shù)向量p的最速下降方向的增量步h有：

h＝αj^tw[σ^exp-σ^model(p)](23)

其中，標(biāo)量α是沿著下坡方向的梯度下降算法中的步長因子。雖然梯度下降算法能快速收斂到局部最小值附近，但接近局部最小值處很難或者很慢才能達(dá)到收斂。但是對于多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化的非線性最小值問題，梯度下降算法是能達(dá)到可接受精度的唯一可行方法。

步驟4.1.2：利用高斯牛頓法求解公式(8)。

利用公式(24)所示的高斯牛頓法求解公式(8)。增量模型函數(shù)σ^model(p+h)被視為一階泰勒級數(shù)展開以假設(shè)在接近優(yōu)化值的模型參數(shù)中的二次近似。

σ^model(p+h)≈σ^model(p)+jh(24)

將上式代入公式(8)中的χ²(p+h)，并對相對于h取χ²(p+h)的導(dǎo)數(shù)，則公式簡化為：

并且當(dāng)時，參數(shù)向量p的增量步長h在高斯牛頓算法中表示為：

[j^twj]h＝j(luò)^tw[σ^exp-σ^model(p)](26)

高斯牛頓算法相對于梯度下降算法的優(yōu)勢在于在接近局部最小值時，高斯牛頓算法可迅速收斂到最小值。然而，在遠(yuǎn)離最小值的區(qū)域，梯度下降算法具有更好的魯棒性和有效性。

步驟4.1.3：結(jié)合梯度下降算法和高斯牛頓法求解公式(8)。

疊加公式(23)和(26)得到如公式(27)所示的標(biāo)準(zhǔn)levenberg算法：

[j^twj+λi]h＝j(luò)^tw[σ^exp-σ^model(p)](27)

其中，i是單位矩陣，λ是一個自適應(yīng)的阻尼因子，當(dāng)λ值較高時采用梯度下降算法解，而較低的λ對應(yīng)于高斯牛頓算法更新。因此，阻尼因子初始設(shè)值較大值，以便快速收斂到局部極值附近，并且根據(jù)χ²(p+h)>χ²(p)是否成立，確定自適應(yīng)阻尼因子λ的增加或減少。如果λ降低到某一確定值點(diǎn)，levenberg算法中高斯牛頓算法開始起作用，則最優(yōu)解附近的目標(biāo)函數(shù)將加速收斂到局部最小值。

由于公式(27)中求解算法可能導(dǎo)致[j^twj+λi]的不可逆反演，nielsen提出一種為levenberg算法定義合適阻尼因子λ的替代方法。為方便起見，將nielsen的方法稱為levenberg-nielsen算法。

對于公式(27)中的求解方法，推薦使用阻尼因子λ0初始值為

如果q(h)>∈4，則根據(jù)以下準(zhǔn)則迭代阻尼因子，

而如果q(h)≤∈4,則

步驟4.2：雅克比行矩陣j的更新。

采用braydenrank-1更新算法來更新雅可比矩陣。與有限差分法相比，特別是對于多參數(shù)優(yōu)化問題，braydenrank-1更新算法由于沒有額外的函數(shù)估計能夠降低計算成本。

然而，在應(yīng)用brayden更新算法進(jìn)行度量模型(6)參數(shù)優(yōu)化時，會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定性和發(fā)散問題。原因在于，雅可比矩陣的第1和2m^para次迭代更新中，由于χ²(p)>χ²(p+h)導(dǎo)致的不良近似。因此，在第1和2m^para次迭代中，braydenrank-1更新算法被有限差分所取代，因此需要函數(shù)評估來判斷m^para或2m^para。

步驟4.3：步長h的更新。

對于步長的h的更新，通過比較χ²(p+h)與χ²(p)的質(zhì)量來確定。增益比q(h)作為步長h更新是否合適的度量標(biāo)準(zhǔn)，增益比q(h)是參數(shù)矢量p的卡方誤差實(shí)際變化量和預(yù)期變化量之間的比率：

對于公式(27)levenberg-nielsen算法，有：

通過判斷q(h)>∈4是否成立確定hi的值，其中∈4是規(guī)定閾值，用于確定算法中的步長的選擇。

步驟4.4：收斂準(zhǔn)則。

滿足梯度收斂準(zhǔn)則或步長收斂準(zhǔn)則，計算停止：

梯度收斂準(zhǔn)則:

max[||j^tw(σ^exp-σ^model)||]<∈1(35)

步長收斂準(zhǔn)則:

max[h/p]<∈2(37)

其中，∈1、∈2是規(guī)定閾值，用于決定收斂容差。

步驟4.5：誤差分析。

采用確定系數(shù)(r²)和減縮的卡方準(zhǔn)則作為擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量度，系數(shù)(r²)表示試驗(yàn)測量值與擬合模型間的近似程度，減縮的卡方表示擬合誤差與測量誤差的比值。

待確定參數(shù)向量的漸近標(biāo)準(zhǔn)誤差可通過方差-協(xié)方差矩陣的主對角元素的平方根。

公式(38)反映了試驗(yàn)數(shù)據(jù)變化對擬合參數(shù)值影響的度量。

本發(fā)明公開的一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法，以復(fù)合材料準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)力學(xué)測試數(shù)據(jù)為擬合對象反向進(jìn)行本構(gòu)方程參數(shù)確定；此復(fù)合材料本構(gòu)方程的參數(shù)的多目標(biāo)確定方法首先通過準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)本構(gòu)方程和動態(tài)力學(xué)本構(gòu)方程分別擬合準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)力學(xué)測試數(shù)據(jù)，確定不同應(yīng)變率和溫度載荷下的關(guān)于測量誤差的加權(quán)因子，然后在總體水平上基于卡方誤差準(zhǔn)則考慮加權(quán)測量誤差通過levenberg-nielsen算法最小化所有載荷工況下測試數(shù)據(jù)與本構(gòu)方程值的累計誤差，實(shí)現(xiàn)本構(gòu)參數(shù)確定的多目標(biāo)反向優(yōu)化，從而優(yōu)化得到本構(gòu)方程的所有參數(shù)。

所述的本構(gòu)方程的所有參數(shù)用于材料力學(xué)性能表征、機(jī)械制造和數(shù)值分析領(lǐng)域，解決相應(yīng)工程技術(shù)問題。

有益效果：

1、本發(fā)明公開的一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法，考慮加權(quán)測量誤差的本構(gòu)方程參數(shù)的多目標(biāo)確定方法具有一般通用性，適用于但不限于johnson-cook本構(gòu)的任何其它本構(gòu)方程參數(shù)的確定。

2、本發(fā)明公開的一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法，采用測量誤差加權(quán)的本構(gòu)方程參數(shù)確定策略，能夠消除隨機(jī)測量噪聲對模型參數(shù)確定的干擾，提高本構(gòu)方程參數(shù)確定的可靠性。

3、本發(fā)明公開的一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法，可綜合考慮每種變形速率和溫度下測量誤差對本構(gòu)方程確定的影響，通過引入權(quán)重因子消除僅大測量噪聲工況下試驗(yàn)數(shù)據(jù)對本構(gòu)模型決定性作用，提高本構(gòu)方程參數(shù)確定的準(zhǔn)確性。

附圖說明

圖1準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)流動應(yīng)力-塑性應(yīng)變曲線示意圖；

圖2考慮加權(quán)測量誤差的本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法總體流程圖；

圖3待擬合的準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)塑形應(yīng)變-應(yīng)力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖4傳統(tǒng)方法和本發(fā)明考慮測量誤差加權(quán)的多目標(biāo)優(yōu)化方法擬合的本構(gòu)方程與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比。

附表說明

表1該發(fā)明與傳統(tǒng)本構(gòu)方程參數(shù)確定的對比結(jié)果。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合具體的附圖和實(shí)施例對本發(fā)明進(jìn)行詳細(xì)說明，所述是本發(fā)明的解釋而不是限定。

實(shí)施例1：

為驗(yàn)證本發(fā)明方法的可行性和有益效果，本實(shí)施例公開的一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法，具體步驟如下：

步驟一、建立基于卡方誤差準(zhǔn)則本構(gòu)方程參數(shù)優(yōu)化的度量模型。

對碳化硅鋁基復(fù)合材料的進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)，得到待測復(fù)合材料在準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)變率(10^-4～1)室溫下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線；對待測復(fù)合材料進(jìn)性霍普金森壓桿試驗(yàn)，得到其在高應(yīng)變率(10²-10⁴)高溫(300℃、500℃)下的應(yīng)力應(yīng)變曲線。圖3所示為碳化硅鋁基復(fù)合材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。根據(jù)步驟一建立基于卡方誤差準(zhǔn)則本構(gòu)方程參數(shù)優(yōu)化的度量模型。根據(jù)圖3所示的應(yīng)力-應(yīng)變曲線確定合適的本構(gòu)方程，本案例選擇johnson-cook方程作為碳化硅鋁基復(fù)合材料的本構(gòu)方程，復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定優(yōu)化問題就是求解所有測試數(shù)據(jù)點(diǎn)上的非線性最小二乘問題，用卡方誤差準(zhǔn)則作為參數(shù)優(yōu)化的度量模型。

其中，σ^exp是實(shí)驗(yàn)的流動應(yīng)力數(shù)據(jù)，σ^model是n為651，而w是相應(yīng)的加權(quán)矩陣，ωi為對應(yīng)于觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)i的對角加權(quán)因子。

步驟二、對參數(shù)優(yōu)化的度量模型(6)參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化模型分解。

參數(shù)優(yōu)化的度量模型(6)已經(jīng)考慮到在準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)加載條件下不同的力學(xué)響應(yīng)，處將卡方誤差準(zhǔn)則分為準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)模型和動態(tài)部力學(xué)模型

準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)模型如下：

動態(tài)力學(xué)模型如下：

其中，和分別為圖3所示的準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)力學(xué)實(shí)驗(yàn)的觀察值；pstatic＝(a,b,n)，

步驟三、確定各加載條件下與測量誤差相對應(yīng)的加權(quán)因子。

根據(jù)方程(10)和(12)將包括準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)部分的雙目標(biāo)非線性最小二乘法優(yōu)化問題通過不同的加權(quán)因子聯(lián)系起來：

通過加權(quán)殘差分析，確定每個載荷工況下實(shí)驗(yàn)的測量誤差都處在10^-2數(shù)量級上，從而使每個載荷工況的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化中均起到作用。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)值σ^exp和待擬合本構(gòu)模型數(shù)據(jù)σ^model之間的關(guān)系滿足如下關(guān)系：

由于優(yōu)化之前的每個荷載工況下的測量誤差的方差還未可知，所以需要先確定每個荷載工況條件下的測量誤差的方差進(jìn)行分析，利用最小二乘法進(jìn)行評價如下：

其中i＝1,2,…9對應(yīng)于第i種應(yīng)變率和變形溫度荷載工況條件。在待確定的參數(shù)化本構(gòu)方程(1)中，至少需要五組試驗(yàn)數(shù)據(jù)才能求解該本構(gòu)方程。為避免在擬合過程中出現(xiàn)奇異矩陣，自由度數(shù)(dof)被設(shè)為44。在每個荷載條件下的權(quán)重因子通過公式(16)單獨(dú)確定，第i種荷載條件下的對角權(quán)重因子ωi在準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)模型中表示為：

ωi在動態(tài)力學(xué)模型中表示為：

因此，和

因此，根據(jù)權(quán)重因子矩陣w＝[0.456548×5；0.905348×5；0.008448×5；0.005248×5；0.006548×5；0.023348×5；0.015648×5；0.017848×5；0.015648×5]的定義，看似是準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)的雙目標(biāo)優(yōu)化問題實(shí)際上一個取決于荷載工況數(shù)量的多目標(biāo)最小化問題。因此，問題最終轉(zhuǎn)化為最小化有不同變形速率和溫度荷載t下測量誤差加權(quán)的實(shí)驗(yàn)流應(yīng)力數(shù)據(jù)與本構(gòu)方程函數(shù)值的偏差平方和的卡方誤差。

步驟四、根據(jù)驟二、三對步驟一中度量模型(6)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，確定步驟一中度量模型(6)參數(shù)，即完成用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化。

還包括步驟五：將步驟一至四所述一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法確定的復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)，用于材料力學(xué)性能表征、機(jī)械制造和數(shù)值分析領(lǐng)域，解決相應(yīng)工程技術(shù)問題。

步驟一中的復(fù)合材料本構(gòu)方程具有一般通用性，適用于但不限于johnson-cook本構(gòu)方程，所述的本構(gòu)方程為johnson-cook本構(gòu)方程，流動應(yīng)力σ是應(yīng)變εp，應(yīng)變率和溫度項(xiàng)t^*的乘積形式，分別代表材料塑性行為的應(yīng)力強(qiáng)化，應(yīng)變強(qiáng)化和熱軟化效應(yīng)。

其中，σ是材等效流動應(yīng)力，εp是等效塑性應(yīng)變，為正則化的應(yīng)變率，和分別表示參考應(yīng)變率0.01s^-1和等效塑性應(yīng)變率(400s^-1，1800s^-1，2200s^-1，5200s^-1)。需要待確定的五個經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的物理意義定義如下：a是材料初始屈服強(qiáng)度，b和n是應(yīng)變硬化系數(shù)和指數(shù)，c是無量綱應(yīng)變速率硬化系數(shù)，m是熱軟化指數(shù)。johnson-cook本構(gòu)模型中這些材料參數(shù)通過準(zhǔn)靜態(tài)壓縮和霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)(shpb)獲得的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)來擬合確定的。t^*是正則化后的溫度項(xiàng)，由下式表示：

其中，t是材料溫度，tmelt是熔點(diǎn)620℃，troom是20℃。

本構(gòu)方程(1)中的jc模型涉及的一組五個參數(shù)(p＝(a，b，c，n，m))，上述參數(shù)的確定能夠轉(zhuǎn)化為以等效塑性應(yīng)變εp、等效塑性應(yīng)變率和變形溫度t三個獨(dú)立變量的待擬合的參數(shù)化本構(gòu)方程與測試數(shù)據(jù)之間偏差或殘差的平方和的加權(quán)求和的最小化問題。

步驟四的具體實(shí)現(xiàn)方法為：

步驟4.1：結(jié)合梯度下降算法和高斯牛頓法求解公式(8)。

步驟4.1具體實(shí)現(xiàn)方法為：

步驟4.1.1：利用梯度下降算法求解公式(8)。

利用公式(21)所示的梯度下降算法求解公式(8)，即卡方目標(biāo)函數(shù)χ²(p)對參數(shù)向量p進(jìn)行微分，產(chǎn)生梯度下降形式：

其中是一階48×5雅克比行列式，以j表示，它反映的是模型函數(shù)對于參數(shù)(a，b，c，n，m)的局部靈敏度。本構(gòu)方程(1)的j行列式中在第j個參數(shù)條件下的第i次觀測數(shù)據(jù)jij定義為：

根據(jù)公式(21)，參數(shù)向量(a，b，c，n，m)的最速下降方向的增量步h有：

h＝αj^tw[σ^exp-σ^model(p)](23)

其中，標(biāo)量α＝0.05。

步驟4.1.2：利用高斯牛頓法求解公式(8)。

利用公式(24)所示的高斯牛頓法求解公式(8)。增量模型函數(shù)σ^model(p+h)被視為一階泰勒級數(shù)展開以假設(shè)在接近優(yōu)化值的模型參數(shù)中的二次近似。

σ^model(p+h)≈σ^model(p)+jh(24)

將上式代入公式(8)中的χ²(p+h)，并對相對于h取χ²(p+h)的導(dǎo)數(shù)，則公式簡化為：

并且當(dāng)時，參數(shù)向量p的增量步長h在高斯牛頓算法中表示為：

高斯牛頓算法相對于梯度下降算法的優(yōu)勢在于在接近局部最小值時，高斯牛頓算法可迅速收斂到最小值。然而，在遠(yuǎn)離最小值的區(qū)域，梯度下降算法具有更好的魯棒性和有效性。

步驟4.1.3：結(jié)合梯度下降算法和高斯牛頓法求解公式(8)。

疊加公式(23)和(26)得到如公式(27)所示的標(biāo)準(zhǔn)levenberg算法：

其中，i是單位矩陣，λ是一個自適應(yīng)的阻尼因子，當(dāng)λ值較高時采用梯度下降算法解，而較低的λ對應(yīng)于高斯牛頓算法更新。因此，阻尼因子初始設(shè)值較大值，以便快速收斂到局部極值附近，并且根據(jù)χ²(p+h)>χ²(p)是否成立，確定自適應(yīng)阻尼因子λ的增加或減少。對于公式(27)中的求解方法，根據(jù)公式(28))使用阻尼因子λ0初始值為0.028

如果q(h)>10^-9，則根據(jù)以下準(zhǔn)則迭代阻尼因子，

而如果q(h)≤10^-9,則

步驟4.2：雅克比行矩陣j的更新。

采用braydenrank-1更新算法來更新雅可比矩陣。與有限差分法相比，特別是對于多參數(shù)優(yōu)化問題，braydenrank-1更新算法由于沒有額外的函數(shù)估計能夠降低計算成本。

然而，在應(yīng)用brayden更新算法進(jìn)行度量模型(6)參數(shù)優(yōu)化時，會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定性和發(fā)散問題。原因在于，雅可比矩陣的第1和2×5次迭代更新中，由于χ²(p)>χ²(p+h)導(dǎo)致的不良近似。因此，在第1和2×5次迭代中，braydenrank-1更新算法被有限差分所取代，因此需要函數(shù)評估來判斷5或2×5。

步驟4.3：步長h的更新。

對于步長的h的更新，通過比較χ²(p+h)與χ²(p)的質(zhì)量來確定。增益比q(h)作為步長h更新是否合適的度量標(biāo)準(zhǔn)，增益比q(h)是參數(shù)矢量p的卡方誤差實(shí)際變化量和預(yù)期變化量之間的比率：

對于公式(27)levenberg-nielsen算法，有：

通過判斷q(h)>∈4是否成立確定hi的值，其中∈4是10^-9。

步驟4.4：收斂準(zhǔn)則。

滿足梯度收斂準(zhǔn)則或步長收斂準(zhǔn)則，計算停止：

梯度收斂準(zhǔn)則:

max[||j^tw(σ^exp-σ^model)||]<∈1(35)

步長收斂準(zhǔn)則:

max[h/p]<∈2(37)

其中，∈1、∈2分別為10^-4，10^-4。

步驟4.5：誤差分析。

采用確定系數(shù)(r²)和減縮的卡方準(zhǔn)則作為擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量度，系數(shù)(r²)表示試驗(yàn)測量值與擬合模型間的近似程度，減縮的卡方表示擬合誤差與測量誤差的比值。

待確定參數(shù)向量的漸近標(biāo)準(zhǔn)誤差可通過方差-協(xié)方差矩陣的主對角元素的平方根。

可得δp＝[12.3743,6.4749,0.0208,0.0002359,0.0452]，反映了試驗(yàn)數(shù)據(jù)變化對擬合參數(shù)值影響的很小。表1列舉了傳統(tǒng)方法與本發(fā)明確定的本構(gòu)方程與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的匹配程度，圖4為傳統(tǒng)方法和本發(fā)明考慮測量誤差加權(quán)的多目標(biāo)優(yōu)化方法擬合的本構(gòu)方程與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比結(jié)果。通過對比可知，本發(fā)明試驗(yàn)測量值與擬合模型間的匹配程度明顯高于傳統(tǒng)方法，說明本發(fā)明關(guān)于本構(gòu)方程參數(shù)確定的準(zhǔn)確性；而且擬合誤差與測量誤差的比值在同一數(shù)量級，說明本發(fā)明關(guān)于本構(gòu)方程參數(shù)確定的可靠性。

表1該發(fā)明與傳統(tǒng)本構(gòu)方程參數(shù)確定的對比結(jié)果

本實(shí)施例考慮加權(quán)測量誤差的本構(gòu)方程參數(shù)的多目標(biāo)確定方法具有一般通用性，而且本發(fā)明自動批量再處理數(shù)據(jù)，并消除測量誤差對本構(gòu)方程參數(shù)確定的影響，可用于一般金屬材料和復(fù)合材料本構(gòu)方程及方程參數(shù)的確定。考慮加權(quán)測量誤差的本構(gòu)方程參數(shù)的。

以上所述的具體描述，對發(fā)明的目的、技術(shù)方案和有益效果進(jìn)行了進(jìn)一步詳細(xì)說明，所應(yīng)理解的是，以上所述僅為本發(fā)明的具體實(shí)施例而已，并不用于限定本發(fā)明的保護(hù)范圍，凡在本發(fā)明的精神和原則之內(nèi)，所做的任何修改、等同替換、改進(jìn)等，均應(yīng)包含在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。