量Ex,Ey，Ez可表示為：
[00川 圧"E" Ez，^T= E? [0, 0, 0,UT (31)
[0082] 略去式中二階及二階W上的高次項，便得到空間誤差的基本方程。
[008引步驟二基于Floyd算法的空間誤差補償原理
[0084] 通常數(shù)控機床的誤差補償方法有兩種；①根據(jù)實際加工所測試的誤差數(shù)據(jù)，對數(shù) 控加工程序進行人工調(diào)整；②利用數(shù)控系統(tǒng)可提供的參數(shù)設(shè)定方式的誤差補償功能，將可 W預(yù)估的誤差數(shù)據(jù)提前輸入對應(yīng)的誤差補償設(shè)置項（如背隙補償、螺距補償和刀桿補償 等），在實際加工過程中，數(shù)控系統(tǒng)將該些預(yù)設(shè)的誤差項加入過程計算進行補償。合理的 修正行刀路徑，也成為了近年來誤差補償?shù)囊环N方式。兩點中尋求最優(yōu)的路徑過程，使得 偏差降低，將作為本文對誤差補償?shù)闹饕绞?。通常采用的路徑?guī)劃方法有；平行最短路 徑捜尋算法、蟻群算法、基于矩陣負載平衡的啟發(fā)算法、EBSP*算法、DiAstra算法等，其 中Dijkstra算法在最短路徑規(guī)劃中應(yīng)用比較多，但Dijkstra算法的實現(xiàn)形式比較復(fù)雜， Floyd算法是一種容易理解、設(shè)計方便的解決路徑規(guī)劃的算法。
[0085] Floyd算法是通過權(quán)矩陣計算來實現(xiàn)的一種方法，其主要思想是從代表任意兩個 節(jié)點Wi與Wj.距離的帶權(quán)鄰接矩陣DW開始，首先計算DW，即計算Wi到Wj.經(jīng)過一次經(jīng)轉(zhuǎn)的 所有可能路徑，經(jīng)過比較后，尋求出最優(yōu)路徑，替代D?中對應(yīng)的路徑，迭代列出距離矩陣 〇w，D<"中各元素表示通過一次迭代后網(wǎng)絡(luò)中任意兩點間最優(yōu)路徑，也即網(wǎng)絡(luò)中任意兩點 之間直接到達或只經(jīng)過一個中間點時的最優(yōu)路徑，即是最短。其次，為了提高優(yōu)化可靠性， 構(gòu)造迭代矩陣= (df) >在兩節(jié)點中插入節(jié)點Wf進行路長比較，如果有>df"或是d(。' > >屯' > 則說明插入節(jié)點Wf后，自W劇Wj不會比原來的短。
[0086] 一般的，在機床補償中，機床產(chǎn)生誤差一種結(jié)果便是使得行程點產(chǎn)生偏移，并產(chǎn)生 無效距離。尋求最短路徑是作為行程超差需要完成的補償工作，上述情況，都在已知目標點 Wt，實際到達點Wj并有1^1 > 1^1 -下，而另一種誤差產(chǎn)生方式，便是由于制造缺陷，使得行 程未達到預(yù)定位置點需要對形成點進行延長。即已知目標點Wt，實際到達點Wj.，并已知計 算從Wi到Wt經(jīng)過一次經(jīng)轉(zhuǎn)的所有可能路徑，經(jīng)過比較后，再次構(gòu)建迭代矩陣=(df)，在 兩節(jié)點中插入節(jié)點Wf進行路長比較，如果有巧^> 或是^韋則說明插入節(jié)點Wf 后，自Wi到Wj.不會比原來的還要長，此方法便是Floyd算法補償原理的核屯、方法。具體實 施流程如圖4所示。
[0087] 若機床刀具在X-Y平面中運作，如圖5所示。其坐標點為（Xi，yi)，其移動方 式便有8種形式，運動一個單元A，便成為（Xi+A,y^+A)、（X。y^+A)、（Xf-A,y^+A)、 (Xi-A,y;)、（Xf-A,y;-A)、（X。y;-A)、（Xi+A,y;-A)，則需要移動的距離可能為
W此種方式作為柵化網(wǎng)格的標準。
[008引 Floyd誤差補償算法實施步驟如下：
[0089] 第一步：柵化路徑為nXn的，從權(quán)值矩陣看來，利用垂線法對路徑進行節(jié)點選擇 W。、Wi、W2、W3、W4、Wj，并得到相互間的權(quán)值關(guān)系和方向關(guān)系。
[0090] 第二步；計算從W劇W師有1個中間節(jié)點情況下的最短權(quán)值矩陣。設(shè)W備過一 個中間點Wf到Wj.，則W劇Wj斯最短距離為：4 = >最短權(quán)值矩陣為4 = ^。
[0091] 第立步；計算從W劇Wj.間有k個中間節(jié)點情況下的最短權(quán)值矩陣。設(shè)W備過中 間點Wf到Wj，Wf經(jīng)過k-r個中間點到達點Wj的最短距離為f，則Wi經(jīng)過k個中間點到達點 W斯最短距離為
最短權(quán)值矩陣為：4=41
[009引第四步：比較Liimit，如果成么輸出補償結(jié)果。如果不成么n=nXn，并 返回第一步繼續(xù)運行直至范圍符合區(qū)間條件。
【附圖說明】
[0093] 圖1.本方法基于Floyd算法的空間誤差補償原理實施流程圖。
[0094] 圖2.機床的垂直度誤差分解示意圖。
[0095] 圖3.機床的平行度誤差分解示意圖。
[0096] 圖4.Floyd補償算法實施流程圖。
[0097] 圖5.標準網(wǎng)格柵化方式圖。
[009引圖6.五軸數(shù)控加工機床示意圖。
[0099] 圖7.五軸數(shù)控加工機床的拓撲結(jié)構(gòu)示意圖。
[0100] 圖8.X向誤差分布路徑柵化圖。
[0101] 圖9.X向誤差分布路徑節(jié)點設(shè)置圖。
[0102] 圖10.誤差分布路徑的有向帶權(quán)圖。
[0103] 圖11.Floyd補償算法補償效果圖。
[0104] 圖12.Floyd補償算法與AC0-BPN補償算法補償效果比較圖。
[01化]圖13.變溫下誤差分布路徑圖。
[0106] 圖14.基于Floyd補償算法的變溫條件下誤差補償效果圖。
【具體實施方式】
[0107] 算例；W五軸聯(lián)動數(shù)控加工機床為例（圖6)
[0108] 步驟一依據(jù)旋量理論建立機床的空間綜合誤差模型
[0109] 根據(jù)旋量理論的指數(shù)矩陣形式，將機床的每個運動部分抽象為一個6X1的向量 形式。將運動形式及誤差模塊化處理，并用指數(shù)矩陣形式表述，根據(jù)機床的拓撲結(jié)構(gòu)（圖7) 建立起機床的空間誤差模型。
[0110] 步驟1. 1旋量理論的指數(shù)矩陣形式
[0111] 任何剛體的運動都可W被分解為兩部分；沿軸向的平移運動及繞軸的旋轉(zhuǎn)運動。 即可將各個部件看成旋量。單位旋量在Plilcker坐標便是成如下；
[0112]
(32)
[011引 i:表述一個剛體在空間上的任意運動形式，則有：
[0114]
(33)
[01巧]其中，U = [Vi，V2, V3]T,竊泰示反對稱矩陣，如果《 = [?1，。3]1，&則可表 示為：
[0116]
(34)
[0117] 剛體運動一般都包含平動及轉(zhuǎn)動的，向量q在剛體坐標系及參考坐標系是相同 的。則剛體的齊次變換矩陣為：
[01化]
(35)
[0119] 旋量的指數(shù)形式對應(yīng)的其次變換矩陣可W寫為：了=e$0。當(dāng)《= 0時，剛體只有平 移運動，則齊次變換矩陣為：
[0120]
(36)
[0121] 當(dāng)《聲0時，對于剛體來講也存在著旋轉(zhuǎn)運動，此時指數(shù)矩陣為：
[0122]
[0123] 其中的S角級數(shù)展開式可W表示為：
[0124]
(38)
[0125] 綜上，則有對于剛體在空間中的任意運動形式的指數(shù)矩陣可表示為：
[0126]
[0127]當(dāng)$為單位旋量，在II ? II聲0時，機械部位的旋轉(zhuǎn)角表示為
點在不同坐 標系中的表示方式不同，他們之間的差異可W用變換矩陣來表述其關(guān)系。旋量也可W理解 為坐標系中的一個點，在不同坐標系的表述方式也有所不同，因此也需要變換矩陣的形式 來表述旋量在不同坐標系的關(guān)系，可W稱之為伴隨矩陣。剛體的運動旋量若為0S，其變換 形式的指數(shù)矩陣表述為：
[012引
(40)
[0129] 則其此坐標系下的伴隨指數(shù)矩陣形式：
[0130]
(41)
[0131] 伴隨指數(shù)矩陣滿足W下性質(zhì)：
[0132]
[0133]
[0134] 對于機床該樣的機械結(jié)構(gòu)，用指數(shù)矩陣表述其結(jié)構(gòu)則有：
[0135]
(44)
[0136] T(0)表示其原始變換矩陣，可將其應(yīng)用于機床的誤差建模。
[0137] 步驟1. 2利用指數(shù)矩陣型對機床進行空間綜合誤差建模
[0138] 在機床作業(yè)情況下，誤差是幾何誤差和熱誤差的禪合作用，測得誤差量5均包含 熱誤差及幾何誤差兩項。即：
[0139] 5 = 5g+5t (45)
[0140] 其中：8。是幾何誤差；
[0141]5T是熱誤差；
[0142] 一般的，每個軸向的運動都會有6個方向自由度，同時會產(chǎn)生3個平動的誤差及3 個轉(zhuǎn)動的誤差。利用旋量理論，定義誤差模塊111。$。。
[01 創(chuàng) me$e= [ e " e " e Z，5 " 5 " Sz]T
[0144] WX向的幾何誤差組成為例，主要分為S部分。第一部分包含定位誤差及延 該方向的滾擺誤差聲^，€^!^第二部分$,,是水平面的線性誤差及顛擺誤差^1"^，^-^第= 部分是垂直面的線性誤差及偏擺誤差巧，。機床熱變形最終反映到機床的運動部件 上，機床運動部件由于機床熱變形的影響，其運動軌跡偏離理想運動軌跡而產(chǎn)生的熱誤差。 即在X方向運動是，與幾何誤差相似的，同樣會出現(xiàn)6項熱誤差。即3項移動誤差；X向線 性位移熱誤差《：> Y向直線度熱誤差和Z向直線度熱誤差=個轉(zhuǎn)角誤差；繞X軸的 傾斜熱誤差繞Z軸的偏擺熱誤差《和繞Y軸的俯仰熱誤差<
[0145]
[015引同理，Y軸及Z軸的誤差模型的指數(shù)矩陣形式可表示如下：
[0 巧 3]
[0 巧 7]
[0163] A軸及C軸的誤差模型指數(shù)矩陣形式：
[0164]
[0174] 步驟1. 3關(guān)于垂直度和平行度誤差的指數(shù)矩陣形式
[0175] 由于實際的軸與理想狀態(tài)下的軸是有所差異的，相鄰的兩個軸不是絕對的90° ; 也就是說存在著垂直度誤差。對于=個平動軸來說，Y軸為理想軸，不存在垂直度誤差；貝。 X軸與Y軸之間的垂直度誤差為Sq，Y軸與Z軸之間的垂直度誤差為Sy,，X與Z之間的垂直 度為Su。在Y軸和實際安裝的X軸向所組成的平面內(nèi)，對于X軸僅存在Sq，同理在實際Z 軸存在其他兩項垂直度誤差。
[0176] W X向為例，理想狀態(tài)下的X向單位旋量可表示為：
[0177]
(63)
[0178] 加入現(xiàn)實狀態(tài)下的垂直度誤差，則X向?qū)嶋H的單位旋量可表示為：
[0179]
(64)
[0180] 對應(yīng)的指數(shù)矩陣可表示為：
[0181]
(65)
[0182] 另一種寫法，是將理想的X軸利用伴隨矩陣的形式WZ為軸旋轉(zhuǎn)一定角度來 達到X軸與Y軸呈90°的效果，即；
[0183]
[0184]
[0185