本發(fā)明涉及一種適用于云計(jì)算環(huán)境的浮點(diǎn)數(shù)全同態(tài)加密方法，屬于信息安全技術(shù)領(lǐng)域。

背景技術(shù)：

云服務(wù)為廣大用戶(hù)提供了廣大的存儲(chǔ)空間和強(qiáng)大的計(jì)算能力，但在人們享受便利的同時(shí)，隱私安全問(wèn)題隨之而來(lái)，這被認(rèn)為是云環(huán)境下最大的挑戰(zhàn)。研究者們一直在尋求構(gòu)造一種既能充分利用云端強(qiáng)大的計(jì)算能力和存儲(chǔ)空間，又能有效保護(hù)數(shù)據(jù)安全的方案。

同態(tài)加密與云環(huán)境中數(shù)據(jù)的機(jī)密性保護(hù)密切相關(guān)，是解決云環(huán)境中隱私保護(hù)問(wèn)題的關(guān)鍵技術(shù)。公開(kāi)號(hào)為106452723a的發(fā)明專(zhuān)利申請(qǐng)，公開(kāi)了一種基于模運(yùn)算的全同態(tài)加密處理方法，包括以下步驟：獲取加密過(guò)程中任意數(shù)值數(shù)據(jù)類(lèi)型的明文，并根據(jù)加密需要將其轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的進(jìn)制位明文，對(duì)得到的進(jìn)制位明文中的各個(gè)數(shù)進(jìn)行加密運(yùn)算，將加密運(yùn)算得到的密文進(jìn)行組合，從而得到對(duì)應(yīng)的密文組合，采用基于模加密的密文原碼、密文反碼和密文補(bǔ)碼對(duì)得到的密文組合進(jìn)行加減乘除密文運(yùn)算，利用模除法對(duì)獲取的密文運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行解密，以獲得解密后的明文。該方案能夠解決現(xiàn)有的基于模運(yùn)算的全同態(tài)加密處理方法中，由于密文乘法噪音難以控制，以及密文加法的結(jié)果等于進(jìn)制時(shí)密文求和的結(jié)果在解密過(guò)程中出錯(cuò)所導(dǎo)致的加密結(jié)果無(wú)法被正確解密的技術(shù)問(wèn)題。

另有公開(kāi)號(hào)為103259643b的發(fā)明專(zhuān)利申請(qǐng)，公開(kāi)了一種矩陣全同態(tài)加密算法，包括：1)初始化模塊：根據(jù)待加密矩陣的維數(shù)、加密類(lèi)型和矩陣元素值的范圍，來(lái)生成加密、解密所需的密鑰；2)加密模塊：根據(jù)給定的明文矩陣，使用加密算法和密鑰對(duì)明文矩陣進(jìn)行加密，輸出密文矩陣；3)解密模塊：根據(jù)給定的密文矩陣，使用密鑰和解密算法對(duì)密文矩陣進(jìn)行解密，輸出明文矩陣；4)矩陣全同態(tài)模塊：矩陣的加法和乘法運(yùn)算都滿(mǎn)足矩陣同態(tài)的性質(zhì)，矩陣加法和乘法產(chǎn)生的輸出仍然滿(mǎn)足同態(tài)的性質(zhì)，即滿(mǎn)足矩陣全同態(tài)的性質(zhì)。該方案一是能夠滿(mǎn)足安全性需求；二是滿(mǎn)足矩陣全同態(tài)的要求；三是明顯提高了密文矩陣的運(yùn)算速度。

但是以上方案雖然在一定程度上滿(mǎn)足了安全性的需求，但是可應(yīng)用的數(shù)據(jù)類(lèi)型不廣。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明所要解決的技術(shù)問(wèn)題是：針對(duì)如今對(duì)于安全計(jì)算的需求，提出了一種可應(yīng)用于云計(jì)算環(huán)境的浮點(diǎn)數(shù)全同態(tài)加密方法，通過(guò)對(duì)浮點(diǎn)數(shù)加密，增加方法可應(yīng)用的數(shù)據(jù)類(lèi)型，同時(shí)在不泄露隱私的前提下，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的安全計(jì)算。

本發(fā)明為解決上述技術(shù)問(wèn)題采用以下技術(shù)方案：

一種面向隱私保護(hù)的浮點(diǎn)數(shù)全同態(tài)加密方法，包括如下步驟：

(1)將待加密的浮點(diǎn)數(shù)表示為正規(guī)表達(dá)式，并將浮點(diǎn)數(shù)正規(guī)表達(dá)式的有效數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的比特位明文數(shù)據(jù)；

(2)生成隨機(jī)私鑰，結(jié)合偽隨機(jī)函數(shù)用私鑰定義公鑰元素，并根據(jù)生成的隨機(jī)噪聲參數(shù)計(jì)算出公鑰；

(3)利用隨機(jī)整數(shù)矩陣和公鑰對(duì)明文進(jìn)行運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)對(duì)明文數(shù)據(jù)的部分同態(tài)加密；

(4)根據(jù)步驟(2)生成新的密鑰參數(shù)，將新密鑰參數(shù)與步驟(3)部分同態(tài)加密的密文進(jìn)行運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)密文的擴(kuò)展；然后利用同態(tài)解密刷新原密文，生成噪聲更小的新密文，從而實(shí)現(xiàn)全同態(tài)加密。

進(jìn)一步的，作為本發(fā)明的浮點(diǎn)數(shù)全同態(tài)加密方法，步驟(1)具體如下：

記fl為要加密的任意浮點(diǎn)數(shù)，則用四個(gè)整數(shù)表示fl，即為：

fl＝(-1)^s′·sig·2^e-k(1)

其中s′表示符號(hào)位，當(dāng)s′＝0時(shí)，fl為正數(shù)，當(dāng)s′＝1時(shí)，fl為負(fù)數(shù)；e表示指數(shù)，用于控制浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)值范圍大??；k表示精度，即為浮點(diǎn)數(shù)的有效位數(shù)，用于控制浮點(diǎn)數(shù)的精度大??；sig表示有效數(shù)，滿(mǎn)足2^k-1≤sig≤2^k-1，且sig為整數(shù)；

在浮點(diǎn)數(shù)fl以正規(guī)表達(dá)式表示的基礎(chǔ)上，將有效數(shù)sig轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制比特位形式，記為：

sig＝d1d2…dk(2)；

其中d1、d2、…、dk代表明文元素。

進(jìn)一步的，作為本發(fā)明的浮點(diǎn)數(shù)全同態(tài)加密方法，步驟(2)具體為：

令μ²表示私鑰的個(gè)數(shù)，η表示每個(gè)私鑰的比特位數(shù)，生成μ²個(gè)η比特的隨機(jī)素?cái)?shù){pu,v}1≤u,v≤μ，即為其中表示整數(shù)集合；

令π表示私鑰的乘積，即為π＝π1≤u,v≤μpu,v；

令γ表示公鑰元素的比特位數(shù)，定義公鑰元素φ0為φ0＝q0·π，其中

若x,y表示任意整數(shù)，則定義模運(yùn)算xmody∈(-y/2,y/2)；

令ri,b,u,v，ωi,b,u,v，σi,b,u,v分別為三個(gè)噪聲參數(shù)，ρ為噪聲參數(shù)的比特位數(shù)；

對(duì)于噪聲參數(shù)第一個(gè)公鑰元素φi,b計(jì)算方法如下：

φi,bmodpu,v＝ri,b,u,v(3)

其中1≤i≤β,0≤b≤1,1≤u,v≤μ，β為第一個(gè)公鑰元素φi,0或φi,1的個(gè)數(shù)；

對(duì)于噪聲參數(shù)第二個(gè)公鑰元素πi,b計(jì)算方法如下：

πi,bmodpu,v＝2ωi,b,u,v+δi,b,u,v·2^ρ+1(4)

對(duì)于噪聲參數(shù)第三個(gè)公鑰元素χi,b計(jì)算方法如下：

χi,bmodpu,v＝2σi,b,u,v+δi,b,u,v(5)

其中1≤i≤μ,0≤b≤1,1≤u,v≤μ，函數(shù)δi,b,u,v定義如下：

令私鑰集合為sk，則sk＝{pu,v}1≤u,v≤μ，公鑰集合為pk，則

pk＝<φ0,(φi,b)1≤i≤β,0≤b≤1,(πi,b)1≤i≤μ,0≤b≤1,(χi,b)1≤i≤μ,0≤b≤1>(7)。

進(jìn)一步的，作為本發(fā)明的浮點(diǎn)數(shù)全同態(tài)加密方法，步驟(3)具體如下：

令a,a′為隨機(jī)整數(shù)矩陣，生成規(guī)則如下：

其中ai,j,a′i,j∈(-2^η,2^η)，

根據(jù)步驟(2)生成的密鑰和參數(shù)，對(duì)(2)式中的明文s進(jìn)行加密，將明文元素d1、d2、…、dk打包存入矩陣m＝[mi,j]1≤i,j≤μ，將明文mi,j加密，得到如下密文：

解密過(guò)程為：

1≤i,j≤μ，為異或運(yùn)算符。

進(jìn)一步的，作為本發(fā)明的浮點(diǎn)數(shù)全同態(tài)加密方法，步驟(4)具體如下：

a、按照步驟(2)中的規(guī)則生成私鑰sk＝{pu,v}1≤u,v≤μ和公鑰pk，具體包括：

若fl為任意浮點(diǎn)數(shù)，則運(yùn)算[fl]表示fl四舍五入后的整數(shù)；生成μ²個(gè)θ比特的二進(jìn)制私鑰向量su,v＝{su,v,0,…,su,v,θ-1},1≤u,v≤μ，θ為向量su,v中元素的個(gè)數(shù)；

令每個(gè)私鑰向量的漢明重量為θ，即向量中有θ個(gè)元素為1，θ-θ個(gè)元素為0；令隨機(jī)選取θ個(gè)整數(shù)ui∈[0,2^γ+3),i＝0,…,θ-1，對(duì)于1≤u,v≤μ，使其滿(mǎn)足：

令向量y＝(y0,…,yθ-1)，其中yi＝ui/2^γ+2，因此yi,0≤i≤θ-1均為小于2的有理正數(shù)，且二進(jìn)制為精度均為γ+2，于是有下式成立：

其中εu,v為誤差參數(shù)，且滿(mǎn)足|εu,v|＜2^-(γ+2)；

則私鑰sk^*為sk^*＝{su,v}1≤u,v≤μ，公鑰pk^*為pk^*＝(pk,y0,y1,…,yθ-1)；

b、在步驟(3)加密的基礎(chǔ)上，將密文擴(kuò)展：令zi＝c·yimod2,i＝0,…,θ-1，令zi的二進(jìn)制精度為比特，若fl為任意浮點(diǎn)數(shù)，則運(yùn)算表示比f(wàn)l大的最小整數(shù)，輸出的密文為(c,z0,…zθ-1)；

該密文的解密過(guò)程如下：

將私鑰su,v,i用步驟(3)的部分同態(tài)加密方法，加密為密文αu,v,i，即為：

c、將該私鑰的密文放入上述公式(13)中與密文計(jì)算，即可得到噪聲更小的新密文，使同態(tài)計(jì)算能一直持續(xù)下去。

進(jìn)一步的，作為本發(fā)明的浮點(diǎn)數(shù)全同態(tài)加密方法，還包括同態(tài)性的驗(yàn)證步驟：

將明文mi,j，m′i,j分別加密為：

驗(yàn)證加法滿(mǎn)足同態(tài)性：

[(c+c′)modpi,j]2＝mi,j+m′i,j(16)

驗(yàn)證乘法滿(mǎn)足同態(tài)性：

[(c·c′)modpi,j]2＝mi,j·m′i,j(17)。

本發(fā)明采用以上技術(shù)方案與現(xiàn)有技術(shù)相比，具有以下技術(shù)效果：

本發(fā)明解決了云計(jì)算實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中要解決的兩個(gè)問(wèn)題：一是在數(shù)據(jù)保證機(jī)密性要求的前提下，云端服務(wù)器能夠直接對(duì)密文進(jìn)行運(yùn)算。二是針對(duì)如今數(shù)據(jù)量巨大，數(shù)據(jù)類(lèi)型豐富的現(xiàn)狀，該方法支持對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)的同態(tài)加密，更加適用于一般情況。

附圖說(shuō)明

圖1是本發(fā)明的方法整體流程圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖對(duì)本發(fā)明的技術(shù)方案做進(jìn)一步的詳細(xì)說(shuō)明：

本技術(shù)領(lǐng)域技術(shù)人員可以理解的是，除非另外定義，這里使用的所有術(shù)語(yǔ)(包括技術(shù)術(shù)語(yǔ)和科學(xué)術(shù)語(yǔ))具有與本發(fā)明所屬領(lǐng)域中的普通技術(shù)人員的一般理解相同的意義。還應(yīng)該理解的是，諸如通用字典中定義的那些術(shù)語(yǔ)應(yīng)該被理解為具有與現(xiàn)有技術(shù)的上下文中的意義一致的意義，并且除非像這里一樣定義，不會(huì)用理想化或過(guò)于正式的含義來(lái)解釋。

本發(fā)明針對(duì)如今對(duì)于安全計(jì)算的需求，提出了一種可應(yīng)用于云計(jì)算環(huán)境的浮點(diǎn)數(shù)全同態(tài)加密方法，在密鑰生成階段，生成隨機(jī)私鑰，結(jié)合偽隨機(jī)函數(shù)用私鑰生成公鑰元素，生成隨機(jī)噪聲；在somewhat同態(tài)加密過(guò)程中，通過(guò)公鑰和明文進(jìn)行運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)明文數(shù)據(jù)的部分同態(tài)加密；在全同態(tài)加密過(guò)程中，生成新參數(shù)，將新參數(shù)與部分同態(tài)加密的密文進(jìn)行運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)密文的擴(kuò)展，然后利用同態(tài)解密刷新原密文，生成噪聲更小的新密文，從而實(shí)現(xiàn)全同態(tài)加密。

如圖1所示，本發(fā)明具體包括以下步驟：

步驟一：浮點(diǎn)數(shù)的正規(guī)化表達(dá)式

記fl為要加密的任意浮點(diǎn)數(shù)，則fl可以用四個(gè)整數(shù)表示，即為：

fl＝(-1)^s′·sig·2^e-k(1)

其中s′表示符號(hào)位，當(dāng)s′＝0時(shí)，fl為正數(shù)，當(dāng)s′＝1時(shí)，fl為負(fù)數(shù)；e表示指數(shù)，控制浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)值范圍大??；k表示精度，即為浮點(diǎn)數(shù)的有效位數(shù)，控制浮點(diǎn)數(shù)的精度大??；sig表示有效數(shù)，滿(mǎn)足2^k-1≤sig≤2^k-1，且sig為整數(shù)。

步驟二：將十進(jìn)制明文轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的比特位明文

在浮點(diǎn)數(shù)fl以正規(guī)表達(dá)式表示的基礎(chǔ)上，將整數(shù)sig轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制比特位形式，記為：

sig＝d1d2…dk(2)

步驟三：對(duì)明文數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)部分同態(tài)加密

首先生成密鑰。令μ²表示私鑰的個(gè)數(shù)，η表示每個(gè)私鑰的比特位數(shù)，生成μ²個(gè)η比特的隨機(jī)素?cái)?shù){pu,v}1≤u,v≤μ，即為其中表示整數(shù)集合。令π表示私鑰的乘積，即為π＝∏1≤u,v≤μpu,v。令γ表示公鑰元素的比特位數(shù)，定義公鑰元素φ0為φ0＝q0·π，其中若x,y表示任意整數(shù)，則定義模運(yùn)算xmody∈(-y/2,y/2)。

令ri,b,u,v，ωi,b,u,v，σi,b,u,v分別為三個(gè)噪聲參數(shù)，ρ為噪聲參數(shù)的比特位數(shù)。

對(duì)于噪聲參數(shù)第一個(gè)公鑰元素φi,b計(jì)算方法如下：

φi,bmodpu,v＝ri,b,u,v(3)

其中1≤i≤β,0≤b≤1,1≤u,v≤μ。β為第一個(gè)公鑰元素φi,0或φi,1的個(gè)數(shù)。

對(duì)于噪聲參數(shù)第二個(gè)公鑰元素πi,b計(jì)算方法如下：

πi,bmodpu,v＝2ωi,b,u,v+δi,b,u,v·2^ρ+1(4)

對(duì)于噪聲參數(shù)第三個(gè)公鑰元素χi,b計(jì)算方法如下：

χi,bmodpu,v＝2σi,b,u,v+δi,b,u,v(5)

其中1≤i≤μ,0≤b≤1,1≤u,v≤μ，函數(shù)δi,b,u,v定義如下：

令私鑰集合為sk，則sk＝{pu,v}1≤u,v≤μ，公鑰集合為pk，則

pk＝<φ0,(φi,b)1≤i≤β,0≤b≤1,(πi,b)1≤i≤μ,0≤b≤1,(χi,b)1≤i≤μ,0≤b≤1>(7)

令a,a′為隨機(jī)整數(shù)矩陣，生成規(guī)則如下：

其中ai,j,a′i,j∈(-2^η,2^η)。

根據(jù)上面生成的密鑰和參數(shù)，對(duì)(2)式中的明文s進(jìn)行加密，將明文元素d1、d2、…、dk打包存入矩陣m＝[mi,j]1≤i,j≤μ，將明文mi,j加密，得到如下密文：

解密過(guò)程為：

1≤i,j≤μ，為異或運(yùn)算符。部分同態(tài)加密后的密文所含噪聲較大，在進(jìn)行有限次運(yùn)算后，會(huì)導(dǎo)致噪聲溢出，解密失敗，因此需要步驟四壓縮解密電路。

步驟四：壓縮解密電路，實(shí)現(xiàn)全同態(tài)加密

在步驟三的基礎(chǔ)上，生成新的密鑰和參數(shù)。首先按照步驟三中部分同態(tài)加密方案的規(guī)則生成私鑰sk＝{pu,v}1≤u,v≤μ和公鑰pk。若fl為任意浮點(diǎn)數(shù)，則運(yùn)算[fl]表示fl四舍五入后的整數(shù)。生成μ²個(gè)θ比特的二進(jìn)制私鑰向量su,v＝{su,v,0,…,su,v,θ-1},1≤u,v≤μ，θ為向量su,v中元素的個(gè)數(shù)。令每個(gè)私鑰向量的漢明重量為θ，即向量中有θ個(gè)元素為1，θ-θ個(gè)元素為0。令隨機(jī)選取θ個(gè)整數(shù)ui∈[0,2^γ+3),i＝0,…,θ-1，對(duì)于1≤u,v≤μ，使其滿(mǎn)足：

令向量y＝(y0,…,yθ-1)，其中yi＝ui/2^γ+2，因此yi,0≤i≤θ-1均為小于2的有理正數(shù)，且二進(jìn)制為精度均為γ+2。于是有下式成立：

其中εu,v為誤差參數(shù)，且滿(mǎn)足|εu,v|＜2^-(γ+2)。

則私鑰sk^*為sk^*＝{su,v}1≤u,v≤μ，公鑰pk^*為pk^*＝(pk,y0,y1,…,yθ-1)。

在步驟三加密的基礎(chǔ)上，將密文擴(kuò)展，令zi＝c·yimod2,i＝0,…,θ-1，令zi的二進(jìn)制精度為比特，若fl為任意浮點(diǎn)數(shù)，則運(yùn)算表示比f(wàn)l大的最小整數(shù)。輸出的密文為(c,z0,…zθ-1)。

該密文的解密過(guò)程如下：

將私鑰su,v,i用步驟三的部分同態(tài)加密方法，加密為密文αu,v,i，即為：

將該私鑰的密文放入上述的解密電路中與密文計(jì)算，即可得到噪聲較小的新密文，使同態(tài)計(jì)算可以一直持續(xù)下去。

步驟五：同態(tài)性的驗(yàn)證

明文mi,j，m′i,j分別加密為：

加法滿(mǎn)足同態(tài)性：

[(c+c′)modpi,j]2＝mi,j+m′i,j(16)

乘法滿(mǎn)足同態(tài)性：

[(c·c′)modpi,j]2＝mi,j·m′i,j(17)

綜上所述，本發(fā)明首先將浮點(diǎn)數(shù)表示為正規(guī)表達(dá)式，然后將其進(jìn)行部分同態(tài)加密，壓縮解密電路，實(shí)現(xiàn)全同態(tài)加密。再上傳到云環(huán)境中，供使用者使用，在數(shù)據(jù)保密的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的安全計(jì)算。

以下結(jié)合具體實(shí)例對(duì)本發(fā)明的原理做進(jìn)一步說(shuō)明：

步驟一：浮點(diǎn)數(shù)的正規(guī)化表達(dá)式

令浮點(diǎn)數(shù)x為2.25，即x＝2.25，精度為20，即k＝20。則x可用正規(guī)表達(dá)式表示為：

x＝(-1)⁰·9·2²⁰·2^-2-20(18)

步驟二：十進(jìn)制明文轉(zhuǎn)化位二進(jìn)制比特位

將表達(dá)式中的有效數(shù)部分轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制形式，即由于該浮點(diǎn)數(shù)的精度要求較低，也為了更加方便的演示加密過(guò)程，將表達(dá)式簡(jiǎn)化為：

x＝(-1)⁰·9·2^-2(19)

則二進(jìn)制明文為9＝1001。

步驟三：對(duì)密文數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)部分同態(tài)加密

首先生成密鑰。生成隨機(jī)素?cái)?shù)p1,1＝11,p1,2＝13,p2,1＝17,p2,2＝19作為私鑰，π表示它們的乘積，即π＝p1,1·p1,2·p2,1·p2,2＝46189，令q0＝23，則無(wú)差錯(cuò)公鑰元素φ0＝q0·π＝1062347，γ＝20。將明文1001分成兩部分[0,0]、[1,1]，用私鑰p1,1加密[0,0]，用私鑰p1,2加密[1,1]。由以上參數(shù)計(jì)算第一類(lèi)公鑰元素：

由于第二類(lèi)公鑰元素需要滿(mǎn)足[πi,bmodp1,i]2＝0，i＝1,2，b＝1,2，所以有：π1,0＝13，π1,1＝132，π2,0＝143，π2,1＝145。

第三類(lèi)公鑰元素需要滿(mǎn)足以下條件：

所以有χ1,0＝78，χ1,1＝221，χ2,0＝66，χ2,1＝209。

由p1,1加密的明文[0,0]打包加密為密文c1，由p1,2加密的明文[1,1]打包加密為密文c2。生成隨機(jī)整數(shù)矩陣a＝(a1,a2)＝(1,1)，a′＝(a1′,a2′)＝(1,1)，則可得密文如下：

將c1,c2解密可得：

解密正確。

步驟四：壓縮解密電路，實(shí)現(xiàn)全同態(tài)加密

在步驟三已有參數(shù)的基礎(chǔ)上，生成新的參數(shù)，θ＝2，θ＝4，γ＝20，令即隨機(jī)選取2個(gè)θ比特的二進(jìn)制向量s1,1＝{1,1,0,0}，s1,2＝{0,0,1,1}。隨機(jī)選取θ個(gè)整數(shù)ui∈[0,2^κ+1)，滿(mǎn)足：

即381300＝u0+u1mod2²³，322639＝u2+u3mod2²³，令

u0＝4194304，u1＝4575604，u2＝4194304，u3＝4516943(25)

可得公鑰元素

將步驟三中的密文c1,c2擴(kuò)展

zi,j小數(shù)點(diǎn)后的二進(jìn)制精度為2比特，其中i＝1,2，j＝0,1,2,3。

則擴(kuò)展后的密文為(-467324,0.00,0.00,0.00,0.00)，(-436292,0.00,1.00,0.00,1.00)。

將擴(kuò)展密文解密可得：

解密正確。

利用解密電路同態(tài)解密，刷新密文，降低密文噪聲。首先將私鑰向量s1,1,s1,2加密，可得s1,1的密文向量為(-436292,-436292,-467324,-467324)，s1,2的密文向量為(-467324,-467324,-436292,-436292)。輸入解密電路可得新密文分別為：

將新密文解密可得：

解密正確。

步驟五：同態(tài)性的驗(yàn)證

加法滿(mǎn)足同態(tài)性：

[(c1′+c3′)modp1]2＝m1+m3＝1(30)

乘法滿(mǎn)足同態(tài)性：

[(c1′·c3′)modp1]2＝m1·m3＝0(31)

以上所述僅是本發(fā)明的部分實(shí)施方式，應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于本技術(shù)領(lǐng)域的普通技術(shù)人員來(lái)說(shuō)，在不脫離本發(fā)明原理的前提下，還可以做出若干改進(jìn)和潤(rùn)飾，這些改進(jìn)和潤(rùn)飾也應(yīng)視為本發(fā)明的保護(hù)范圍。