一種rs碼頻域快速譯碼方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明屬于糾錯碼技術(shù)領(lǐng)域，尤其涉及一種RS(Reed Solomon)碼頻域快速譯碼方 法。
【背景技術(shù)】
[0002] 糾錯碼的編譯碼歷史始于1948年香農(nóng)發(fā)表的一篇著名論文。香農(nóng)指出，只要一個 通信系統(tǒng)所要求的傳信率R小于信道容量C，就有可能用糾錯碼為此信道設(shè)計一通信系統(tǒng) 使其輸出差錯概率為任意小。RS碼是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)比較完美的一種糾錯碼，也是一類有很 強糾錯能力的多進制BCH碼，能糾正突發(fā)錯誤。RS碼已廣泛應(yīng)用于⑶、DVD以及藍光光盤 中，在數(shù)據(jù)傳輸中，它被用于DSL和WiMAX，在廣播系統(tǒng)中DVB和ATSC中也有其應(yīng)用。若將 碼字看作是時間域或頻率域上的信號，糾錯碼的譯碼可以分為基于有限域的傅里葉變換的 頻域譯碼以及時域譯碼。在RS碼頻域譯碼中不需要求出錯誤位置和錯誤值，較其時域譯碼 方式譯碼復(fù)雜度低。因此，研究RS碼的頻域快速譯碼算法具有重要的意義。
[0003] 在GF (qm)域上的糾 t個錯誤的RS碼，碼參數(shù)n = qm_l關(guān)系如下：n = qm_l， k = n-2t，d = 2t+l，其中q表示素數(shù)（通常取2)，η表示碼長，k表示信息段，d表示 最小碼距，其接收多項式r (X)為r (X) = IV^r1X+." +rn Jn 1 (n = qm-l)，對接收多項式 r(x)進行頻域譯碼。常規(guī)RS碼頻域譯碼處理包括下列步驟：（1)計算接收多項式r(x) 的傅里葉變換R(x)及系數(shù)R j，其中R(x) zR。+!^+···+!^，1，而R(x)的各傅里葉分量
其中α為GF(cf)的本原元；（2)計算錯誤位置多項式 σ (X)，其常用的為基于Berlekamp迭代算法求錯誤位置多項式σ (X) :RS碼頻域譯碼中 其2t (t為糾錯個數(shù)）個伴隨式分量Sl，S2，…，s2t等于R(X)的2t個譜分量R ^ R2，…，R2t， 由伴隨式分量迭代求出錯誤位置多項式σ (X) = 〇Q+〇lX+…+ 〇vxv，其中V為實際錯誤 個數(shù)；(3)計算頻域上錯誤多項式E(X) :RS碼頻域譯碼中的錯誤多項式e(x)的傅里葉 變換E(X)的2t個譜分量E1, E2，…，E2t等于R(X)的2t個譜分量R u R2，…，R2t，按式Ελ+? =-(σ !+ σ 2Ελ+? 2+..· + σ νΕλ+? v)，t+1 < λ < η-1- λ 計算譜分量 E2t+1至Ij E " 1;按式
計算譜分量Ε。; (4)計算頻域譯碼V(x)的傅里葉逆變換， 輸出譯碼結(jié)果。即根據(jù)公式V(X) =R(X)-E(X)計算頻域譯碼V(x)，再計算其逆傅里葉變 換，即得譯碼的碼字多項式，逆傅里葉變換算法類似于傅里葉變換算法，根據(jù)步驟（1) 采用的某種方法計算傅里葉逆變換，完成譯碼。
[0004] 在RS碼的常規(guī)頻域譯碼處理中，步驟（1)中求解接收多項式r(x)的傅里葉變換 RU)的計算量非常大，從而導(dǎo)致其譯碼的復(fù)雜度高，因此有必要對其進行改進，以降低現(xiàn)有 RS碼的譯碼復(fù)雜度。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0005] 本發(fā)明的發(fā)明目的在于：對常規(guī)RS碼頻域譯碼進行改進，進而達到降低譯碼復(fù)雜 度的目的。本發(fā)明利用有限域特征通過合并同類項的方式實現(xiàn)有限域的傅里葉變換的快 速計算，并將該方法應(yīng)用到RS碼譯碼中。為了進一步降低譯碼的計算復(fù)雜度，本發(fā)明還將 Cooley-Tukey FFT算法和合并同類項方法相結(jié)合應(yīng)用到RS譯碼中。
[0006] 本發(fā)明的RS碼頻域快速譯碼方法，包括下列步驟：
[0007] 步驟1 :計算碼長η的接收多項式r(x) = IV^r1X+…+rn Jn \ (n = qm_l)的傅里葉 變換R(x)，R(x) = Ro+R1X+…+Rn Z S計算傅里葉變換R(x)可采用如下兩種方法之一來完 成。
[0008] 方法1 :合并同類項法；
[0009] (1)將有限域6?(〇中的元素表示為{0}1^<11|0彡1^^-2}，( 1為本原元，根 據(jù)
計算非零元素集合中（Ct1IO彡i彡q m_2}各元素 α1的階ord(a % 其中g(shù)cd〇表示求取最大公約數(shù)，將{a 1IO < i < qm_2}中的元素按照元素的階劃分集合， 階相同的元素劃分為一個子集合；
[0010] ⑵計算傅里葉分量Rj:
[0011] 設(shè)p = 〇rd( a D，對P辛η的各元素所對應(yīng)的傅里葉分量（也稱譜分量），采用合 并同類項法計算所對應(yīng)的傅里葉分量民（1 e [0，qm-2]):
[0012] 假設(shè)階為p的子集合的元素個數(shù)為K個，則對應(yīng)該K個元素（1，a \ (a D2,… η ，（α T 4均有^組（1，α1，（α1)2，…（α1) 15 4循環(huán)，所以計算對應(yīng)傅里葉分量民時可先提 取公因子。因為碼長為n，f組循環(huán)，所以[r]可以合并^項，傅里葉分量R1可以根據(jù)公式
計算得到，其中階系數(shù)
[0013] 當元素的階為η時，相應(yīng)的傅里葉分量R,則不能用上述算法計算得到，仍需按照 基本傅里葉變換公式
[0014] 方法2 :Cooley_Tukey FFT算法與合并同類項法相結(jié)合計算傅里葉變換；
[0015] Cooley-Tukey FFT 算法描述如下：
[0016] 分解碼長n = Ii1 · n2，將接收多項式r (X)的系數(shù)r。，!T1，…rn i改組為：
?即將原系數(shù)巧(0彡i彡cf-2)的下標i改為（i'，i")，其中 i = i ' +riji " , i' = 0, 1，...，n「l，i " = 0, 1，...，n2_l ;
[0017] 對應(yīng)上述改組，將傅里葉變換R(x)的傅里葉分量R。，R1，…Rn i改組為
，即將傅里葉分量R JO彡j彡qm-2)的下標j改為 (j'，j");其中 j = n2j' +j"，j' = 0, 1，…，n「l，j" = 0, 1，…，n2-l ;
[0018] 根據(jù)公式
計算與階為n的元素 a ] (j e [0, qm-2)所對應(yīng)的傅里葉變換分量R,，采用合并同類項法計算階ρ辛η的各元素 所對應(yīng)的傅里葉分量R1，對民、Rj而言，i辛j。在上述方法2中，即對于譜分量下標為元素 階為η的真因子的域元素上標時，按照合并同類項法計算相應(yīng)譜分量；對于譜分量下標為 元素階為η本身的域元素上標時，按照Cooley-Tukey FFT算法計算相應(yīng)譜分量。
[0019] 步驟2 :計算錯誤位置多項式σ (X)，如利用Berlekamp迭代算法求錯誤位置多項 式 〇 (X):
[0020] RS碼頻域譯碼中其2t(t為糾錯個數(shù)）個伴隨式分量S1, S2,…，S2t等于R(X)的 2t個譜分量RpR2,…，R 2t，由伴隨式分量迭代求出錯誤位置多項式〇 (X) = σ。+O1X+… + σνχν，ν為實際錯誤個數(shù)。
[0021] 步驟3 :計算頻域上錯誤多項式E(X);
[0022] RS碼頻域譯碼中其錯誤多項式e (X)的傅里葉變換E (X)的2t個譜分量E1, E2，… ，E2t等于R (X)的2t個譜分量R ^ R2，…，R2t;
[0023] 按式按式 Ελ+?=-( 〇 !+σ 2Ελ+? 2+…+ σ νΕλ+? v)，t+Ι < λ < η-1-λ 計算譜 分量 E2t+1ilj En 1;
[0024] 按式
計算譜分量Ε。。
[0025] 步驟4 :根據(jù)公式V (X) = R (X) -E (X)計算頻域上譯碼V (X)，再對其計算其反傅里 葉變換，即得譯碼的碼字多項式4 Y):逆傅里葉變換算法類似于傅里葉變換算法，根據(jù)步驟 1采用的方法1或方法2計算V(X)的傅里葉逆變換MO，完成譯碼。
[0026] 本發(fā)明公開了兩種將有限域的快速傅里葉變換應(yīng)用到RS碼頻域譯碼的方法， 均能達到降低譯碼復(fù)雜度的目的。以計算總乘法次數(shù)表示傅里