一種基于命題邏輯概率賦值的近似推理模式算法
【技術領域】
[0001] 本發(fā)明涉及一種計算方法，尤其涉及一種基于命題邏輯概率賦值的近似推理模式 算法.
【背景技術】
[0002] 取值于二值的經(jīng)典邏輯在公理化、形式化推理等方面的研究取得了很大的成功， 但經(jīng)典邏輯在處理現(xiàn)實世界中大量存在的具有不確定性、隨機性事物時則有很大的局限 性.因此，為滿足應用的需要，學者們根據(jù)討論問題的不同從不同的方向推廣經(jīng)典邏輯，建 立了各種形式的非經(jīng)典邏輯理論.概率邏輯是概率空間的邏輯表示，概率邏輯是在經(jīng)典邏 輯和概率論的基礎上，它研究如何用邏輯的語言來進行概率推理.概率論作為不確定性推 理的數(shù)學基礎，雖然已經(jīng)在諸如主觀Bayes方法、證據(jù)理論等多種不確定性推理方法中得到 應用，但如何在邏輯框架內進行概率推理是一個值得研究的問題.經(jīng)典邏輯和模糊邏輯的 一個共同特征是命題聯(lián)結詞都是真值函數(shù)，都是以{〇，1}或[0，1]上的真值函數(shù)的形式解釋 聯(lián)結詞，但其思想和方法應用到概率邏輯就有些不合適了，概率邏輯中的復合命題的真值 既與成分命題真值有關，也與成分命題的內涵有關.比如，式子 V(pVq) = V(p)+V(q)-v(pA q)表示pVq的真值v(pVq)不僅與v(p)和v(q)有關，還與v(pAq)有關.因此，概率邏輯的聯(lián) 結詞不能用真值函數(shù)來解釋.
[0003] 在王國俊教授提出的計量邏輯學中，通過引進公式的真度、相似度和偽距離等概 念，建立了基于真度的近似推理理論.由于是從全體公式集和全體賦值集上考慮問題，故其 雖具有明顯的整體性特征，隨機性不足也是其明顯的缺陷.事實上，計量邏輯學的討論是基 于"賦值域上有一個均勻概率分布"這樣一個隱含條件，每個原子公式取賦值域中的每個值 是等可能的，這樣就使得各個原子公式q的真度值是相同的，如，η值命題邏輯系統(tǒng)中，各原 子公式的真度為〇. 5，用概率邏輯語言來說就是各原子公式為真的概率均為0.5，其不可靠 度自然為1-0.5 = 0.5.這樣也就導致了相同形式的公式(如qi-q2與q3-q4)有相等的真度. 這種把每個原子公式是否為真同等程度看待的觀點與實際應用中各簡單命題成立與否的 可能性不盡相同的事實相悖.在人工智能及程度化邏輯推理的應用中，經(jīng)常需要對某些原 子公式(命題)取賦值域中的值有所側重，從而應該賦予它們較大的概率.或者說，各原子命 題是否為真是不確定、隨機的，準確表述應當是各原子命題是否為真的概率有多大.所以， 針對賦值域上的非均勻分布情形進行研究有更大的應用價值也更具應用前景.
[0004] 在人工智能的推理研究中，著名邏輯學家Lukasiewicz曾給出如下形式的近似推 理問題:前提一，2018年1月1日，約翰在華沙或在雅典；前提二，2018年1月1日，約翰在華沙 或在維也納；結論，2018年1月1日，約翰在華沙.在經(jīng)典邏輯框架下，上述推理是沒有意義 的，即從所給前提不能推出結論.按照邏輯學家Lukasiewicz給出的解釋，因前提和結論是 未來事件，目前還不能確定其真假，Lukasiewicz引入一個介于"真"、"假"之間的第三個值 表示其為真的程度.這樣就將上述推理轉化成為多值邏輯框架下的推理問題.然而，令人遺 憾的是上述推理問題在多值邏輯框架下也不是有效的，即從所給出前提也不能有效地推出 結論.但我們注意到，在推理實際應用中，有時不一定要求從前提嚴格地推出結論，而只需 要從前提近似地推出結論的真實程度.實際上，雖然在目前我們還不能完全確定上述各原 子命題的真假，但通常能知道其取值"真（1)"，"假(〇)"，"中間值(0.5)"的概率分布.通過各 原子命題取值的概率分布建立所討論推理問題中各公式之間的真值關系，提出符合實際需 要的近似推理模式，應用近似推理模式從前提出發(fā)推理得到結論的真實程度.

【發(fā)明內容】

[0005] 本發(fā)明的目的就在于為了解決上述問題而提供一種基于命題邏輯概率賦值的近 似推理模式算法.
[0006] 本發(fā)明通過以下技術方案來實現(xiàn)上述目的：
[0007] 本發(fā)明包括以下步驟：
[0008] (一)命題邏輯的概率賦值：
[0009] 設3={(11，(12"_}為原子公式集，(1表示原子公式別5)是由3生成的(飛->)型自由代 數(shù)，稱F(S)中的元素為命題公式，設（Ω，Λ，P)是概率空間，Λ中的元素稱為事件，對α，βΕ 八規(guī)定》-^ = (0-獲)|^爲-1(2=()-從，則(八，-1，->)是:(-1,4)型代數(shù)，并且也是13〇〇16已11 代數(shù)，Ω為必然事件，是最大兀，Φ為不可能事件，是最小兀；
[0010] 定義1 :①設（Ω，Λ )是σ-代數(shù)，Λ中的元素也稱為事件，ρ是Λ上的概率，稱 (飛―)型同態(tài)ν:F(S) - Λ為F(S)的(事件)賦值，8卩V為J e廠(S),有
[0012] 公式A的賦值的概率P(v(A))稱為的概A率真值.易知
[0013] Ρ(ν(^)) = 1-戶(v(4f),
[0014] Ρ(ν(Α^Β))=Ρ(ν(Α)^ν(Β))=Ρ(( Ω-ν(Α)) Uv(B))=P(( Ω-ν(Α)) U (v(A) Πν (Β))) = 1-Ρ(ν(Α))+Ρ(ν(Α)ην(Β)).為了與通常的命題邏輯賦值概念相區(qū)別，公式的（事 件)賦值連同其概率真值稱為公式的概率賦值，F(xiàn)(S)上全體概率賦值之集記為Σ Ρ;
[0015] ②設 AEF(S)，若 ν[ΣΡ，有 P(V(A)) = 1J_A 為概率重言式;若 ν[ΣΡ，有 P(V(A)) =0，則稱A為概率矛盾式，易證若v為F( S)的概率賦值，則
[0016] P(v(AUB))=P(v(A) Uv(B)),P(v(AnB))=P(v(A) Πν(Β)).
[0017] 由于F(S)是由S生成的自由代數(shù)，故概率賦值ν由它在S上的限制v|s惟一確定.特 另IJ，當我們考慮的是F(S)的一個有限子集F時，這時自然可以考慮概率賦值v :F(S)j Λ在F 上的限制ν If;
[0018] 定義2 :設Ω = { a，b，c }，Ω的冪集p ( { a，b，c })上的概率空間：
.，令vi(qi)= Φ，vi(q2) = {a，b}，vi(q3) = {c}，則vi確定一個概率賦值， 如設』=?. v% ~，則 vi(J):=一 p(Vl(A)) = l;又令V2(qi) = {a}，V2 (q2) = ，V2(q3) = Ω，，則V2確定另外一個概率賦值 M.U斜-= ，：
[0019] 定理1:如果A是重言式，則A是概率重言式.反之，當（Ω，Λ，p)是正規(guī)概率空間（即 V^y e Ω,ρ( { ω }) >〇)時，如果A為概率重言式，則A為重言式.對概率矛盾式有類似的結論.
[0020] 定義3:設A，BeF(S)，若A-B為概率重言式，則稱A概率重言蘊含B(簡稱A重言蘊含 B)，記作.』ο B若//二5且S 4 則稱A與B概率重言等價(簡稱A與B重言等價），記作 A B.
[0021] 注l:(a) ΥνεΣρ，有〇<p(v(A)) < 1;
[0022] (b)若A重言蘊含B，則 ，有P(V(A-Β)) = 1-Ρ(ν(Α))+Ρ(ν(Α)ην(Β)) = 1， 即有，P(v(A))=P(v(A) Γ?ν(Β))·因此，P(v(A))=P(v(A) Πν(Β)ΗΡ(ν(Β))·Ρ(ν(Α) Πν (B))=P(v(A))=min{P(v(A)),P(v(B))} ,P(v(A) Uv(B))=P(v(B))=max{P(v(A)),P(v (B))};
[0023] (c)若A與B重言等價，則 Vv e Σ嚴，總有p(v(A)) =P(v(B));
[0024] (d)若A與B是邏輯不相容，即A與B的合取式ΑΛΒ為矛盾式，則P(v(AVB))=P(v(A) υ ν(Β))=Ρ(ν(Α))+Ρ(ν(Β))-Ρ(ν(ΑΛΒ))=Ρ( ν(Α))+Ρ(ν(Β));
[0025] (e)如果，有V(A)與V(B)獨立，則稱公式Α與Β獨立，這時，P(v(AVB))=P(v (ΑΛΒ))=Ρ(ν(Α)ην(Β))=Ρ(ν(Α))ΧΡ(ν(Β));
[0026] 以上的注說明對任何一個賦值ν，Ρ(ν( ·))滿足Kolmogorov公理，即Ρ(ν( ·))是全 體公式集F (S)上的概率.
[0027](二)命題邏輯的概率真度理論：
[0028]因為概率賦值v:F(S)-A由它在S上的限制唯一確定，亦即每一個映射v:S-A都可 唯一擴充為一個概率賦值，因此若v(qk) = Vk(k= 1，2，…）， 1'(0 = (^^2，一)為一個賦值狀態(tài)，此處人1{=人
不表示通常的無窮乘積代數(shù)而是 被看作為集合Ak(k=l，2,…)的無窮乘積(以下記之為Λ°°).反之
ι則存 在唯一概率賦值ΣΡ使得v(qk) = vk(k=l，2,…）
1映射·
[0029] 設Λ *是乘積空間Λ00上的一個〇-代數(shù)，μ*是Λ *上的概率測度.通過映射供可將Λ *上 的概率測度μ*轉化為ΣΡ上的概率測度μ，即對Σ [ Σρ ,若科Σ) e Λτ,則記ΜΣ) = f (Ρ(Σ)),稱 μ為f的導出概率測度.又記? = ?Σ丨Σ g ，ρ(Σ) e A*}，貝IJ ( Σ ρ，Θ，μ)是一個概率測度空間， 并稱之為由（Λ'Λ'μ，的導出概率測度空間.
[0030] 按照計量邏輯觀點，一個公式A可決定全體概率賦值集Σ p上的一個函數(shù)：
[0031] Α: ΣΡ^[0,1],Α(ν)=Ρ(ν(Α)).
[0032] 定義4:設Λ*是Λ°°上的σ-代數(shù)，μ*是Λ*上的一概率測度，（ΣΡ，Θ，μ)是由（Λ' Λ ' μ，導出的概率測度空間，則稱
[0034] 為命題公式A的概率真度.
[0035] 注2:設厶=六(91，92，"_，91；)是一個有1：個原子公式的公式，通過以上映射^7，對概率 真度作以下的形式轉換有助于概率真度的計算.明顯地，公式A確定一個如下的t元函數(shù)：
[0037]
貝丨J易證Δ *是Λ *上的〇-代數(shù)·因此若定義
[0039]則f(t)是有限乘積空間At上的概率測度，稱為μ+在At上的限制，此時可得概率 真度的如下計算公式
[0041] 對一個有1:個原子的公式厶=4(91，92，~，91；)，1：元函數(shù)4(^1_，12.,._-,%)當然也可以 按如下方式看作t+i元函數(shù)：
[0042]
[0043] 因此，概率真度有如下的積分形式不變性質.
[0044]命題1:設A=A(qi，q2，…，qt)是一個有t個原子的公式，則有
[0046]注3:設 Ω = 〇m}是有限概率空間，公式 A = A(qi，q2，."，qt)3BAuto = {qi，q2，···，qt}為A中出現(xiàn)的全部原子公式之集，ve 2[>是/1的一個概率賦值，則稱Ta(v) = (v (qi)，v(q2)，…，v(qt))eAt是公式A的一個真值狀態(tài)·又記A的全體真值狀態(tài)(總共有l(wèi) = 2tm 個)之集為TA(v) = {TA(V1)，…，TA(vi)}，Pt是T A上的正規(guī)概率分布，即0<Pt(TA(Vi)) <1 (i = 1,2,---,1),
.若記 Pk = P(k = t+l，t+2,…），由于 Λ°° 可視為 Λ' At+1, At+2，··· 的無窮乘積空間，則由？*，？*+1，？*+2，~也可以生成
上唯一概率測度W = PtX Pt+1 X · · ·，使得對于:7>', (v,) X HL A都是μ*_可測集，且
[0050] 特別地，如果Pt是ΤΑ上的均勻概率分布，即Pt(TA( Vl)) = 1/2'則
[0052] 命題2:概率真度具有以下性質
[0053] (1)〇< τ(Α) < 1.
[0054] (2)若Α與Β邏輯等價，則τ (A) = τ (Β) ·
[0055] (3)若 Α 為重言式(矛盾式），則 τ(Α) = 1(τ(Α)=0).
[0056] (4) r(^) = l-r(^),
[0057] (5)τ(ΑνΒ) = τ(Α)+τ(Β)_τ(ΑΛΒ).
[0058] (6)若 A-Β 為重言式，則 τ(ΑΗτ(Β).
[0059] 證明：（1)-(4)易證.（5)對ve ΣΡ，
[0060] (AVB)(v)=P(v(AVB))=P(v(A) Uv(B))
[0061] =P(v(A))+P(v(B))-P(v(A) Πν(Β))
[0062] =Ρ(ν(Α))+Ρ(ν(Β))_Ρ(