一種基于最小二乘優(yōu)化的壓縮感知圖像快速重建方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明涉及一種壓縮感知圖像重建方法，具體地涉及一種面向圖像的、基于最小 二乘優(yōu)化的壓縮感知采樣快速重建方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 基于稀疏表示理論和泛函分析-逼近理論的壓縮感知（compressed sensing or compressive sampling，CS)是一種新型的采樣方法，在對(duì)可壓縮信號(hào)采樣時(shí)能夠突破著名 的Shannon-Nyquist采樣定理的限制，以遠(yuǎn)低于兩倍信號(hào)最大帶寬的采樣率對(duì)信號(hào)采樣，從 而減少了采集的數(shù)據(jù)量。以其用少量采樣值表示全長(zhǎng)的信號(hào)的優(yōu)點(diǎn)，壓縮感知在出現(xiàn)之初 就吸引了信號(hào)、通信、電子信息、統(tǒng)計(jì)理論、編解碼理論和計(jì)算機(jī)等眾多領(lǐng)域的研究熱情，被 認(rèn)為是信息科學(xué)近年來最重大的研究成果。壓縮感知基本原理如下：
[0003] 假設(shè)一維離散信號(hào)seRNxl是可壓縮的(這是前提條件），壓縮感知方法的信號(hào)采樣 是利用特別設(shè)計(jì)的觀測(cè)矩陣〇￡R MXN(這里M<<N)將可壓縮信號(hào)s從N維投影到Μ維，即：y = Φ8;這里的yeRMxl是信號(hào)s的壓縮采樣，而采樣y的長(zhǎng)度Μ與信號(hào) S的長(zhǎng)度N與之比M:N就是在 壓縮感知框架下的采樣率，該采樣率一定小于1。由于y=?s是欠定方程組，無法直接求解， 壓縮感知方法從近似重構(gòu)的角度來考慮求解問題。
[0004] 考慮信號(hào)s可壓縮的前提和稀疏表示理論，對(duì)于可壓縮信號(hào)s-定存在某稀疏變換 基Ψ ERNXN，使得s在該變換基上的表示0eRNxl是稀疏的，即：
[0005] (1)8 = ΨΘ，
[0006] 式中Θ的大部分元素為〇或接近于〇;通常Θ中非〇元素的個(gè)數(shù)Κ(Κ<<Μ<<Ν)被稱 為Θ的稀疏度。從而有y = C>s = Φ ΨΘ=ΑΘ;這里的Α= Φ Ψ被稱為信息算子或感知矩陣。y = ΑΘ可以通過0-范數(shù)優(yōu)化問題求解
[0007] (2)min | | Θ | | 〇 s · t .y = A90
[0008] 而根據(jù)D〇noho、CandgS等人研究提出的壓縮感知理論，在感知矩陣A具有有限等距 性質(zhì)(Restricted Isometry Property，RIP)的條件下，0-范數(shù)優(yōu)化可以轉(zhuǎn)化為1-范數(shù)優(yōu)化 問題：
[0009] (3)min| |θ| |i s.t.y = A0，
[0010] 其中，A具有RIP性質(zhì)的等價(jià)條件是觀測(cè)矩陣Φ與稀疏變換基ψ不相干，這一點(diǎn)在 設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣Φ時(shí)已得到保證。
[0011] 由于Θ是稀疏的，通過（2)和（3)式可以得到其精確或近似逼近解古，然后利用（1) 式得到原始信號(hào)s的精確或近似逼近解5。常用壓縮感知算法主要包括針對(duì)(2)式的貪婪算 法和針對(duì)(3)式的凸松弛算法。最經(jīng)典的壓縮感知算法就是凸松弛算法中的基追蹤(Basis Pursuit,BP)算法，所需的觀測(cè)值數(shù)目少（即采樣率低）、計(jì)算精度高；匹配追蹤(Matching Pursuit，MP)、正交匹配追蹤（Orthogonal ΜΡ,ΟΜΡ)及其改進(jìn)算法都是貪婪算法的代表，收 斂速度快、計(jì)算復(fù)雜度較低，實(shí)際應(yīng)用較多。
[0012]壓縮感知方法的信號(hào)重建是近似優(yōu)化重構(gòu)，非常適合于處理圖像信號(hào)，目前其已 在磁共振、X-射線掃描、雷達(dá)成像、遙感圖像處理、超頻譜圖像分析等方面有了很多應(yīng)用，并 已開發(fā)出單像素相機(jī)。壓縮感知算法的提出都是以一維信號(hào)為處理對(duì)象的，對(duì)于二維信號(hào) 一般以列或行向量為重建單位分別重建，當(dāng)每一個(gè)列或行信號(hào)都被重建后，整個(gè)二維信號(hào) 也就重建成功了，圖像信號(hào)的重建通常也是按列處理的。我們把圖像信號(hào)S記為[ S1，S2，···， Sn]，其中Sl(i = l，2,…，η)為信號(hào)的第i列，在處理中每一個(gè)81分別進(jìn)行重構(gòu)。
[0013]壓縮感知方法具有采樣數(shù)目少的優(yōu)點(diǎn)，但其應(yīng)用仍然有很多難題等待解決，較長(zhǎng) 的信號(hào)重構(gòu)時(shí)間是其中的一個(gè)關(guān)鍵。如BP算法的計(jì)算復(fù)雜度高達(dá)0(N3)，收斂速度較快的 0ΜΡ算法的計(jì)算復(fù)雜度也達(dá)到了0(ΝΚ 2)。在配置為Intel(R)Core(TM)2Duo CPU E46000 2.4GHz、3GB內(nèi)存、Windows 7、Mat 1 ab R2011 b的個(gè)人計(jì)算機(jī)上的重構(gòu)不同大小信號(hào)時(shí)的重 構(gòu)時(shí)間如表1和2所示。
[0014]表1 0ΜΡ和BP算法重構(gòu)一維信號(hào)時(shí)，信號(hào)大小每增加1倍重構(gòu)時(shí)間的變化 [0015]
[0016]表2 0ΜΡ和BP算法重構(gòu)二維信號(hào)時(shí)，信號(hào)大小每增加1倍重構(gòu)時(shí)間的變化
[0017]
[0018] 壓縮感知算法重構(gòu)信號(hào)所需的時(shí)間較長(zhǎng)，并隨信號(hào)增大以遠(yuǎn)大于信號(hào)增幅的速率 增長(zhǎng)，而且這個(gè)速率隨信號(hào)的增大還在不斷增長(zhǎng)。對(duì)比表1和表2可以發(fā)現(xiàn)，二維信號(hào)的重構(gòu) 時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一維信號(hào)，且其增長(zhǎng)幅度也較大;如大小為1024 XI的信號(hào)重構(gòu)時(shí)間是512 XI 的5.55倍，而大小為1024X1024的信號(hào)重構(gòu)時(shí)間是512X512的11.76倍。
[0019]我們?cè)趬嚎s感知算法及其應(yīng)用的研究中，利用日漸普及的高性能計(jì)算設(shè)備和云計(jì) 算平臺(tái)加速壓縮感知算法，以提高算法的執(zhí)行速度，驗(yàn)證了壓縮感知方法在物聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)采 集中的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了壓縮感知算法的并行化、多/多核CPU加速、GPU加速和云平臺(tái)加速等，加 速后的算法執(zhí)行時(shí)間如圖1和表3所示。
[0020] 表3 0ΜΡ算法重構(gòu)信號(hào)時(shí)，不同數(shù)量計(jì)算資源的云加速效果(編程語言Python，云 平臺(tái)）
[0021]
[0022] 從圖1和表3中可知，壓縮感知算法的并行化及加速雖然能顯著減少算法的執(zhí)行時(shí) 間，但不能改變算法隨信號(hào)增大而以極高的速率增長(zhǎng)的趨勢(shì)。壓縮感知算法的重構(gòu)時(shí)間高 速增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)趨勢(shì)不斷擴(kuò)大，使重構(gòu)算法的執(zhí)行時(shí)間無法估計(jì)，不利于在云平臺(tái)加速時(shí)的 自動(dòng)資源分配。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0023] 針對(duì)上述技術(shù)問題，本發(fā)明目的是:提供一種基于最小二乘優(yōu)化的壓縮感知圖像 快速重建方法FBWRFI，它采用最小二乘優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)圖像的重建，以保證收斂速度和重構(gòu) 精度；以每一個(gè)原子和二維殘差之間的整體相關(guān)度測(cè)量取代原子與一維殘差之間的相關(guān)度 測(cè)量，以減少迭代次數(shù)、降低計(jì)算復(fù)雜度；引入塊壓縮感知理論并重新設(shè)計(jì)快大小和測(cè)量矩 陣，以降低優(yōu)化迭代中的參數(shù)規(guī)模。該方法能夠顯著降低從壓縮的采樣中重建原始圖像的 時(shí)間，并使圖像的重構(gòu)時(shí)間由隨信號(hào)增大而以極高速率增加變?yōu)榫€性增長(zhǎng)，提高了重構(gòu)時(shí) 間的可預(yù)估性，有利于使用云資源加速時(shí)的資源智能分配。
[0024]本發(fā)明的技術(shù)方案是：
[0025] -種基于最小二乘優(yōu)化的壓縮感知圖像快速重建方法，其特征在于，包括以下步 驟：
[0026] SO 1:把原始圖像信號(hào)S: N X N基于壓縮感知方法的壓縮采樣Y: Μ X N，根據(jù)塊測(cè)量矩 陣Φ β :Mb X Β劃分為"=「W/5下個(gè)互不重疊的塊Yi:Mb X Β，其中|是基于壓縮感知方法進(jìn) 行壓縮采樣時(shí)的采樣率：
[0027] S02:利用WRFI重構(gòu)每個(gè)塊St: B X B，壓縮采樣為Yt: Mb X B，稀疏系數(shù)記Θ t: B X B，其 過程如下：
[0028] S02-01:計(jì)算塊感知矩陣Αβ=ΦβΨβ:ΜβΧΒ中每一個(gè)原子€4(丨=1，2，."，8)與當(dāng)前 二維殘差R(k-1):Mb X B的整體相關(guān)度A = ??< -屮 >卜其中k表示當(dāng)前是第k次迭 Μ 代，<^是48的第i列，二維殘差R(k-l)的初始值為1并在每次迭代后更新，R(k-lh是R(k-l) 的第j列，Ψb : B X B是稀疏變換基且Ψb和Φ b線性無關(guān)；
[0029] S02-02:通過對(duì)比Pi(i = 1，2，…，B)，在序號(hào)不包含在原子序號(hào)集合Λ k-:的原子中 選出與當(dāng)前殘差最大相關(guān)原子的序號(hào)4 = 11^11=1,2,...^(0〇;其中八1{-1是前面卜1次迭代中選 擇的最相關(guān)原子的序號(hào)組成的集合，Ak表示第k次迭代選出的最相關(guān)原子的序號(hào)；
[0030] 302-03:把人1{并入集合人1{-1，把原子％并入集合4卜1得到 ：人1{=[人1{-1，人1{]， 為=[為、ι，α%];:其中氣是Ab的第4列，Ak-i是前面k_l中得到的最相關(guān)原子的集合；
[0031] S02-04:基于Ak和最小二乘優(yōu)化方法獲取本次迭代的近似逼近解Θ tk; Θ tk是第k次 迭代得到的稀疏系數(shù)? t的近似逼近；
[0032] S02-05:判斷迭代條件:達(dá)到設(shè)定的重構(gòu)精度或設(shè)定的最大迭代次數(shù)K，則結(jié)束重 建塊St的迭代計(jì)算并跳轉(zhuǎn)到S02-07; ?tk是St的稀疏表示系數(shù)?*的近似逼近解Θ,;
[0033] S02-06:更新參數(shù)R(k)=Y-Ak?tk和k = k+l，跳轉(zhuǎn)至S02-01繼續(xù)迭代;這里k是新的 迭代次數(shù)，R(k)是新的二維殘差；
[0034] S〇2_〇7:利用St= ΨΒ Θ t得到St的近似逼近解4;
[0035] S02-08:判斷是否每個(gè)塊St都已經(jīng)重建：即當(dāng)t 2 η則跳至S03，否則跳至S02重構(gòu)下 一個(gè)塊St+i;
[0036] S03:將所有的重構(gòu)信號(hào)戔拼接得到完整的重構(gòu)信號(hào)|。
[0037] 優(yōu)選的，在重構(gòu)過程之前還包括采樣過程，采樣過程包括以下步驟：
[0038] S11:把原始圖像信號(hào)S:NXN分割為《 個(gè)大小為BXB的塊，若原始信號(hào)邊 緣的分塊大小不足B X B，將不足的部分的元素填充為0;
[0039] S12