本發(fā)明涉及近似推理算法技術(shù)領(lǐng)域，具體為一種概率圖模型的近似推理算法。

背景技術(shù)：

概率圖模型利用圖論的表示方法來描述聯(lián)合概率分布，是對不確定性問題進(jìn)行建模的有效工具。概率圖模型用節(jié)點(diǎn)表示變量，節(jié)點(diǎn)之間的邊表示局部變量間的概率依賴關(guān)系。在概率圖模型的表示框架下，聯(lián)合概率分布表示為定義在局部變量的勢函數(shù)的連乘積，該表示框架不僅避免了對復(fù)雜系統(tǒng)的聯(lián)合概率分布直接進(jìn)行建模，而且易于在圖模型建模中引入先驗(yàn)知識。概率圖模型主要包括馬爾可夫隨機(jī)場(markovrandomfield,mrf)、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(bayesionnetwork,bn)、因子圖(factorgraph,fg)等。概率圖模型推理涉及到圖模型的所有變量，而變量之間的耦合依賴關(guān)系是導(dǎo)致推理算法復(fù)雜度高的主要原因。在一般的概率圖模型中，由于精確推理是np難問題，目前的研究聚焦在近似推理算法。概率圖模型被廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如自然語言處理、計(jì)算機(jī)視覺、計(jì)算神經(jīng)學(xué)等。

馬爾可夫隨機(jī)場的最大后驗(yàn)概率推理是一個(gè)整數(shù)規(guī)劃問題，因此難以直接求解該優(yōu)化問題。一種常見的求解思路是，將該問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為定義在約束域?yàn)檫吘壨苟喟?marginalpolytope)的線性規(guī)劃問題。由于精確描述邊緣凸多胞形需要的約束數(shù)量過于龐大，研究人員將該約束域松弛為局部一致性凸多胞形(localconsistencypolytope)，該約束域包含有邊和節(jié)點(diǎn)邊緣概率的一致性約束。定義在局部一致性凸多胞形上的線性松弛問題，被稱為成對線性規(guī)劃松弛(pairwiselinearprogrammingrelaxation)。松弛后的線性規(guī)劃問題可以用優(yōu)化領(lǐng)域的一些標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化方法來求解。松弛后的線性規(guī)劃問題可以用優(yōu)化領(lǐng)域的一些標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化方法來求解。然而，當(dāng)圖模型的規(guī)模很大時(shí)，yanover等人指出用標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)化方法沒有充分利用圖模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，求解速度慢。因此，可以引入對偶分解法來求解線性規(guī)劃問題。對偶分解的思路是將原問題分解為若干易于求解的子問題，通過組合子問題的解來近似得到原問題的解。一種常見的子問題是樹狀子圖，不同的樹狀子圖分解方式對應(yīng)不同的近似推理算法，如樹重置權(quán)重消息傳遞(tree-reweightedmessagepassing,trw)，最大-和擴(kuò)散(max-sumdiffusion，msd)，最大乘線性規(guī)劃(maxproductlinearprogramming，mplp)。樹狀子圖的分解方式對應(yīng)于求解成對線性規(guī)劃松弛，而成對線性規(guī)劃松弛是對原問題的一個(gè)近似，所以這些算法無法保證推理結(jié)果的準(zhǔn)確性。

為了提高近似推理算法的準(zhǔn)確度，可以在原優(yōu)化問題的約束域引入高階約束。sontag和jaakkola提出了一個(gè)約束分離算法，該算法在每次迭代過程中選擇一個(gè)違反約束最大的k-叉環(huán)不等式約束，并將該不等式約束加到局部一致性凸多胞形中，從而使得約束域逐步逼近邊緣凸多胞形。每增加一個(gè)約束，該算法利用標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化方法進(jìn)行求解。由于該算法直接求解原問題，而沒有利用圖模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此算法復(fù)雜度高。除了在原優(yōu)化問題的約束域引入高階約束之外，另一個(gè)提高近似推理算法準(zhǔn)確度的方法是在對偶問題中引入比樹狀子圖更加復(fù)雜的子圖。針對二值馬爾可夫隨機(jī)場，batra等人提出了一個(gè)更加準(zhǔn)確的近似推理算法，該算法將mrf分解為一組覆蓋原圖節(jié)點(diǎn)和邊的外平面子圖，每個(gè)外平面子圖利用最大權(quán)重完美匹配(maximumweightperfectmatchings)來求解。最大權(quán)重完美匹配算法能快速準(zhǔn)確地求解二值外平面子圖的推理問題。但是，batra等人提出的上述算法依然存在的問題是：算法沒有對外平面子圖對應(yīng)原問題的約束進(jìn)行分析，從而無法確定基于外平面子圖分解方式的準(zhǔn)確度下界。針對一般的多值mrf，yarkony等人提出一個(gè)新的推理算法，該算法將一個(gè)mrf分解為一個(gè)“覆蓋樹”，然后逐步增加可以用最大權(quán)重完美匹配算法求解的二值平面子圖(binaryplanarsubproblems，bpsp)。由于二值平面子圖的數(shù)量龐大，而且不同的bpsp分解對應(yīng)的算法收斂速度差異很大，因此bpsp的選擇是一個(gè)重要的問題。為了解決bpsp的選擇問題，首先要確定bpsp和原問題約束域之間的關(guān)系。然而，yarkony等人的文章并沒有研究bpsp和原問題約束域之間的關(guān)系。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

為實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明提供如下技術(shù)方案：一種概率圖模型的近似推理算法，首先利用分離算法選擇有效的k-叉環(huán)不等式約束；然后將這些k-叉環(huán)不等式約束對應(yīng)的環(huán)組合到一個(gè)平面子圖上，并逐次添加到對偶子問題中；最后通過優(yōu)化對偶問題來求解原推理問題；

假設(shè)由分離算法得到m個(gè)環(huán)，記為c1,c2,...,cm；遍歷每個(gè)環(huán)ci，記錄環(huán)ci中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)劃分；如果ci的某個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)劃分和之前的環(huán)不一致，則不組合環(huán)ci至當(dāng)前bpsp，同時(shí)，利用平面圖判定算法檢驗(yàn)增加環(huán)ci至bpsp是否會導(dǎo)致當(dāng)前bpsp變?yōu)榉瞧矫鎴D，若是，不組合環(huán)ci至當(dāng)前bpsp；

考慮任意一節(jié)點(diǎn)p，其變量取值記為xp(xp∈{1,2,...,k})；假設(shè)邊(p,q)的變量取值為xp＝u,xq＝v，記(s1,s2)分別為節(jié)點(diǎn)(p,q)的狀態(tài)空間子集，即同時(shí)假設(shè)利用平面子圖選擇準(zhǔn)則逐次構(gòu)造了n個(gè)平面子圖，考慮所有這些平面子圖，并將所有平面子圖中邊(p,q)的狀態(tài)空間子集的集合記為a；記

在所有的平面子圖中，將邊(p,q)的狀態(tài)空間劃分為(s1,s2)的平面子圖集合表示為：

針對第k個(gè)平面子圖，定義一個(gè)示性函數(shù)：

其中為第k個(gè)平面子圖中節(jié)點(diǎn)p的狀態(tài)取值；

類似地，定義樹狀子圖的示性函數(shù)：

其中為節(jié)點(diǎn)p在樹狀子圖t中的狀態(tài)取值；

將一個(gè)網(wǎng)格mrf分解為“行”、“列”樹狀子圖{t}和若干平面子圖{k}，對偶目標(biāo)函數(shù)為：

利用平面子圖選擇準(zhǔn)則增加平面子圖，每增加一個(gè)平面子圖，優(yōu)化上述目標(biāo)函數(shù)。

作為發(fā)明一種優(yōu)選的技術(shù)方案，所述分離算法是定義在局部一致性凸多胞形上的最大后驗(yàn)概率推理問題，其最優(yōu)解為l(g)的某個(gè)頂點(diǎn)；l(g)的頂點(diǎn)有整數(shù)向量和分?jǐn)?shù)向量，若優(yōu)化結(jié)果為整數(shù)向量，則得到了準(zhǔn)確的推理結(jié)果；否者為近似解，需要有選擇性地增加高階約束來提高推理的準(zhǔn)確度；切平面法通過增加約束來逐次提高推理結(jié)果的準(zhǔn)確度，切平面法的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)約束分離算法，利用分離算法選擇違反約束最大的有效約束，使得當(dāng)前分?jǐn)?shù)向量解和約束域的整數(shù)向量分離。在分?jǐn)?shù)向量解下，不同的有效約束違反約束的程度不同。

作為發(fā)明一種優(yōu)選的技術(shù)方案，所述切平面法是先求解一個(gè)線性規(guī)劃松弛問題，在當(dāng)前分?jǐn)?shù)向量解下找到一個(gè)有效約束；再將該約束添加至當(dāng)前約束域，求解一個(gè)新的線性規(guī)劃松弛問題，并找到一個(gè)新的有效約束；最后將有效約束添加至約束域，求解得到整數(shù)向量解。

作為發(fā)明一種優(yōu)選的技術(shù)方案，基于最短路徑的k-叉環(huán)不等式約束分離算法，即篩選出違反約束最大的有效k-叉環(huán)不等式約束，為了利用最短路徑法選擇有效的k-叉環(huán)不等式約束，需要構(gòu)造一個(gè)輔助無向圖g′(v′,e′)；

輔助無向圖的構(gòu)造方式為：對于投影圖的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)m∈vπ，v′包含兩個(gè)復(fù)制節(jié)點(diǎn)m1和m2；節(jié)點(diǎn)集合v′由兩個(gè)子集構(gòu)成，分別為vπ1和vπ2；下標(biāo)為1的節(jié)點(diǎn)屬于子集vπ1，下標(biāo)為2的節(jié)點(diǎn)屬于子集vπ2；對于投影圖中的每一條邊(m,n)∈eπ，輔助圖g′包含的邊有(m1,n1),(m2,n2),(m1,n2),(m2,n1)；對于任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)m∈vπ，在輔助圖g′中求節(jié)點(diǎn)m1到m2的最短路徑，其中最短路徑定義為路徑上邊的權(quán)重之和最小。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明的有益效果是：本發(fā)明研究概率圖模型近似推理算法，提出了一個(gè)基于等價(jià)性定理的平面子圖選擇準(zhǔn)則，利用該準(zhǔn)則設(shè)計(jì)了一個(gè)對偶分解框架下的快速收斂推理算法，該算法首先利用分離算法選擇有效的k-叉環(huán)不等式約束，然后將這些k-叉環(huán)不等式約束對應(yīng)的環(huán)組合到一個(gè)平面子圖上，并逐次添加到對偶子問題中，最后通過優(yōu)化對偶問題來求解原推理問題。實(shí)驗(yàn)表明，該算法與其它主流近似推理算法相比，收斂速度更快。

附圖說明

圖1為本發(fā)明平面子圖選擇準(zhǔn)則示意圖；

圖2為本發(fā)明切平面法示意圖；

圖3為本發(fā)明最短路徑示意圖；

圖4為本發(fā)明對偶分解示意圖；

圖5為本發(fā)明投影圖的構(gòu)造方法示意圖；

圖6為本發(fā)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖。

具體實(shí)施方式

下面將結(jié)合本發(fā)明實(shí)施例中的附圖，對本發(fā)明實(shí)施例中的技術(shù)方案進(jìn)行清楚、完整地描述，顯然，所描述的實(shí)施例僅僅是本發(fā)明一部分實(shí)施例，而不是全部的實(shí)施例。基于本發(fā)明中的實(shí)施例，本領(lǐng)域普通技術(shù)人員在沒有做出創(chuàng)造性勞動前提下所獲得的所有其他實(shí)施例，都屬于本發(fā)明保護(hù)的范圍。

實(shí)施例：

本發(fā)明提供一種技術(shù)方案：一種概率圖模型的近似推理算法，首先利用分離算法選擇有效的k-叉環(huán)不等式約束；然后將這些k-叉環(huán)不等式約束對應(yīng)的環(huán)組合到一個(gè)平面子圖上，并逐次添加到對偶子問題中；最后通過優(yōu)化對偶問題來求解原推理問題；其平面子圖選擇準(zhǔn)則如圖1所示；

假設(shè)由分離算法得到m個(gè)環(huán)，記為c1,c2,...,cm；遍歷每個(gè)環(huán)ci，記錄環(huán)ci中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)劃分；如果ci的某個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)劃分和之前的環(huán)不一致，則不組合環(huán)ci至當(dāng)前bpsp，同時(shí)，利用平面圖判定算法檢驗(yàn)增加環(huán)ci至bpsp是否會導(dǎo)致當(dāng)前bpsp變?yōu)榉瞧矫鎴D，若是，不組合環(huán)ci至當(dāng)前bpsp；

考慮任意一節(jié)點(diǎn)p，其變量取值記為xp(xp∈{1,2,...,k})；假設(shè)邊(p,q)的變量取值為xp＝u,xq＝v，記(s1,s2)分別為節(jié)點(diǎn)(p,q)的狀態(tài)空間子集，即同時(shí)假設(shè)利用平面子圖選擇準(zhǔn)則逐次構(gòu)造了n個(gè)平面子圖，考慮所有這些平面子圖，并將所有平面子圖中邊(p,q)的狀態(tài)空間子集的集合記為a；記

在所有的平面子圖中，將邊(p,q)的狀態(tài)空間劃分為(s1,s2)的平面子圖集合表示為：

針對第k個(gè)平面子圖，定義一個(gè)示性函數(shù)：

其中為第k個(gè)平面子圖中節(jié)點(diǎn)p的狀態(tài)取值；

類似地，定義樹狀子圖的示性函數(shù)：

其中為節(jié)點(diǎn)p在樹狀子圖t中的狀態(tài)取值；

將一個(gè)網(wǎng)格mrf分解為“行”、“列”樹狀子圖{t}和若干平面子圖{k}，對偶目標(biāo)函數(shù)為：

利用平面子圖選擇準(zhǔn)則增加平面子圖，每增加一個(gè)平面子圖，優(yōu)化上述目標(biāo)函數(shù)。

所述分離算法是定義在局部一致性凸多胞形上的最大后驗(yàn)概率推理問題，其最優(yōu)解為l(g)的某個(gè)頂點(diǎn)；l(g)的頂點(diǎn)有整數(shù)向量和分?jǐn)?shù)向量，若優(yōu)化結(jié)果為整數(shù)向量，則得到了準(zhǔn)確的推理結(jié)果；否者為近似解，需要有選擇性地增加高階約束來提高推理的準(zhǔn)確度；切平面法通過增加約束來逐次提高推理結(jié)果的準(zhǔn)確度，切平面法的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)約束分離算法，利用分離算法選擇違反約束最大的有效約束，使得當(dāng)前分?jǐn)?shù)向量解和約束域的整數(shù)向量分離。在分?jǐn)?shù)向量解下，不同的有效約束違反約束的程度不同。

圖2為所述切平面法示意圖，(a)求解一個(gè)線性規(guī)劃松弛問題，在當(dāng)前分?jǐn)?shù)向量解下找到一個(gè)有效約束；(b)將該約束添加至當(dāng)前約束域，求解一個(gè)新的線性規(guī)劃松弛問題，并找到一個(gè)新的有效約束；(c)將有效約束添加至約束域，求解得到整數(shù)向量解。

基于最短路徑的k-叉環(huán)不等式約束分離算法，即篩選出違反約束最大的有效k-叉環(huán)不等式約束，為了利用最短路徑法選擇有效的k-叉環(huán)不等式約束，需要構(gòu)造一個(gè)輔助無向圖g′(v′,e′)；輔助無向圖的構(gòu)造方式為：對于投影圖的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)m∈vπ，v′包含兩個(gè)復(fù)制節(jié)點(diǎn)m1和m2；節(jié)點(diǎn)集合v′由兩個(gè)子集構(gòu)成，分別為vπ1和vπ2；下標(biāo)為1的節(jié)點(diǎn)屬于子集vπ1，下標(biāo)為2的節(jié)點(diǎn)屬于子集vπ2；對于投影圖中的每一條邊(m,n)∈eπ，輔助圖g′包含的邊有(m1,n1),(m2,n2),(m1,n2),(m2,n1)；對于任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)m∈vπ，在輔助圖g′中求節(jié)點(diǎn)m1到m2的最短路徑，其中最短路徑定義為路徑上邊的權(quán)重之和最??；

圖3為利用最短路徑法選擇有效k-叉環(huán)不等式約束的示意圖，以邊(m,n)為例，其輔助圖g′中的邊(m1,n1)和(m2,n2)的權(quán)重設(shè)為邊(m1,n2)和(m2,n1)的權(quán)重設(shè)為以節(jié)點(diǎn)r為例，假設(shè)節(jié)點(diǎn)r1到r2的最短路徑為{r1m1,m1n1,n1r2}。找到最短路徑后，將下標(biāo)不同的邊歸入到集合f，由于從r1到r2的路徑橫跨vπ1和vπ2的次數(shù)為奇數(shù)，所以|f|為奇數(shù)。在這個(gè)例子中，c＝{rm,mn,nr}，f＝{nr}。不考慮節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)，最短路徑對應(yīng)于下式的權(quán)重最小

如果上式的值小于1，則找到一個(gè)違反約束的k-叉環(huán)不等式約束。

本發(fā)明對于概率圖模型推理問題簡介：

概率圖模型在圖模型上定義一個(gè)聯(lián)合概率分布，而該聯(lián)合概率分布可以表示為圖模型上節(jié)點(diǎn)和邊上勢函數(shù)的乘積。這一結(jié)構(gòu)特性使得概率圖模型能夠通過描述局部變量間的依賴關(guān)系，來刻畫系統(tǒng)整體的聯(lián)合概率分布。將一個(gè)概率圖模型記為g＝(v,e),其中v＝{1,2,...,n}表示n個(gè)節(jié)點(diǎn)，表示概率圖模型上邊的集合。概率圖模型的每個(gè)節(jié)點(diǎn)s∈v上定義了一個(gè)變量xs，每個(gè)變量的取值空間記為xs，取值空間可以是連續(xù)或離散(xs＝{0,1,...,k-1})。本文主要考慮無向概率圖模型(即馬爾可夫隨機(jī)場)，將mrf記為g＝(v,e)，最大后驗(yàn)概率推理問題為

其中φp(xp)和φpq(xp,xq)分別表示節(jié)點(diǎn)和邊的勢函數(shù)，最大后驗(yàn)概率等價(jià)于以下能量最小化問題：

精確推理只能在一些結(jié)構(gòu)和參數(shù)具有特殊性的mrf上進(jìn)行，例如樹狀mrf可以利用bp算法實(shí)現(xiàn)精確推理，該算法對樹狀mrf的參數(shù)沒有特殊的要求。然而對于一般的mrf，精確推理是np難問題，只能采用近似推理算法。推理問題是一個(gè)整數(shù)規(guī)劃問題，因此難以直接求解該優(yōu)化問題。為了便于求解，將原整數(shù)規(guī)劃問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為定義在約束域?yàn)檫吘壨苟喟?marginalpolytope)的線性規(guī)劃問題；

在上式中，θp＝{θp(·)}和θpq＝{θpq(·,·)}是mrf勢函數(shù)的向量化表示。類似地，μp＝{μp(·)}和μpq＝{μpq(·,·)}分別為節(jié)點(diǎn)和邊的邊緣概率的向量化表示。雖然整數(shù)規(guī)劃問題被等價(jià)地轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性規(guī)劃問題，但是由于約束域邊緣凸多胞形m(g)很復(fù)雜，難以用約束條件精確地描述。為此，研究人員將該約束域近似松弛為局部一致性凸多胞形l(g)(localconsistencypolytope)，該約束域僅包含邊上的邊緣概率和節(jié)點(diǎn)邊緣概率的一致性約束。定義在局部一致性凸多胞形上的線性松弛優(yōu)化問題，被簡稱為成對線性規(guī)劃松弛(pairwiselinearprogrammingrelaxation)。直接優(yōu)化成對線性規(guī)劃松弛存在的問題是：1)無法保證推理結(jié)果的準(zhǔn)確性；2)求解速度慢。為了提高推理算法的運(yùn)行速度，采用對偶分解法來求解原優(yōu)化問題。對偶分解方法的優(yōu)勢在于該方法可以充分利用圖模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。

不同的對偶分解方式對應(yīng)不同近似推理算法。假設(shè)一個(gè)能量最小化問題被分解為若干易于求解的子問題，記為sp(g)＝{spi}。則該分解必須滿足以下約束：

其中sp(p)和sp(pq)分別代表包含有節(jié)點(diǎn)p和邊pq的子問題。針對上述分解方式，通過引入拉格朗日乘子得到對偶函數(shù)如下：

其中λ滿足

通過對偶分解，原問題被分解為若干可并行獨(dú)立求解的子問題{spi}

對偶問題通過整合所有子問題的解來更新對偶變量更新后的對偶變量通過拉格朗日乘子傳遞到各個(gè)子問題，對偶分解的原理示意圖如下圖4所示。對偶目標(biāo)函數(shù)是原能量最小化問題的一個(gè)下界，最大化對偶函數(shù)即對原問題的近似求解。

在對偶分解框架下，不同的子問題分解方式具有不同的推理準(zhǔn)確度和收斂速度。針對不同的圖模型，如何選擇子問題從而提高算法的準(zhǔn)確度和收斂速度是一個(gè)重要的研究課題。

本發(fā)明對于平面子圖和k-叉不等式的等價(jià)性的說明：

圖5為投影圖的構(gòu)造方法示意圖；在對偶分解框架下，如何選擇子問題從而提高算法的準(zhǔn)確度和收斂速度是一個(gè)重要的研究課題。子問題分解需要考慮mrf的結(jié)構(gòu)和參數(shù)特點(diǎn)，最常見的分解方式是將原問題分解為樹狀子圖。為了提高推理算法的準(zhǔn)確度，需要在樹狀子圖分解的基礎(chǔ)上，增加比樹狀子圖更為復(fù)雜的子問題。例如，可以增加平面圖模型、環(huán)子圖等來提高推理算法的準(zhǔn)確度。

對于非二值的平面圖模型，最大權(quán)重完美匹配法不能直接用來求解推理問題。yarkony等人發(fā)現(xiàn)了如果圖模型邊上的勢函數(shù)只取兩個(gè)不同的值，則可以將該邊等價(jià)投影到二值取值空間，求解完畢后再投影至原取值空間。若一個(gè)非二值平面圖的勢函數(shù)具有以下形式，則被稱為二值平面子圖(bpsp):

其中定義為異或運(yùn)算。和分別為變量xp和xq狀態(tài)空間子集。bpsp的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)空間被劃分為互補(bǔ)的兩部分，因此，具有以上結(jié)構(gòu)的能量函數(shù)可以通過投影映射后采用最大權(quán)重完美匹配求解。

以下介紹一類重要的高階約束，即k-叉環(huán)不等式約束，該不等式約束的定義起源于二值圖模型。對于任意一個(gè)環(huán)c和它的子集(|f|是奇數(shù))，有以下不等式：

其中[·]表示示性函數(shù)，上述不等式對任意狀態(tài)取值均成立，對該不等式取期望，以下環(huán)不等式約束成立：

為了將上述環(huán)不等式約束擴(kuò)展到非二值圖模型，需要構(gòu)造投影圖(projectiongraph)。投影圖的構(gòu)造方法是將原圖的每個(gè)非二值變量通過取值空間劃分投影為二值變量。

投影圖上的環(huán)不等式約束對應(yīng)于原圖的k-叉環(huán)不等式約束，其表達(dá)式為：

在對偶分解方法中，每增加平面子圖bpsp中的一個(gè)環(huán)c，等價(jià)于在原問題中引入投影圖中環(huán)c′上定義的所有k-叉環(huán)不等式約束。在對偶問題中每增加bpsp的一個(gè)環(huán)，等價(jià)于在原線性約束松弛問題上增加定義在投影環(huán)上的所有k-叉環(huán)不等式約束。因此，證明了平面子圖和k-叉不等式的等價(jià)性。

實(shí)驗(yàn)：

為了驗(yàn)證算法的有效性，本文算法和其它四個(gè)具有代表性的主流算法進(jìn)行了比較，分別為：收斂樹重置權(quán)重消息傳遞(trw-s)、利用平面圖讓線性規(guī)劃松弛的下界更緊、利用消息傳遞讓線性規(guī)劃松弛的下界更緊(mplp)、以及選擇環(huán)約束方法。本文采用仿真數(shù)據(jù)生成方法,生成n×n的網(wǎng)格mrf，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)取值數(shù)為k(k∈{3,4}),節(jié)點(diǎn)和邊的勢函數(shù)滿足以下分布

其中，u[-1,1]和u[-a,a]分別為定義在區(qū)間[-1,1]和[-a,a]上的均勻分布。為了度量不同算法的性能，繪制不同算法的對偶函數(shù)值相對于迭代次數(shù)的變化曲線。對偶函數(shù)是原能量函數(shù)的一個(gè)下界，對偶函數(shù)值越大，則對應(yīng)的下界越緊、推理結(jié)果的準(zhǔn)確度越高。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

對于本領(lǐng)域技術(shù)人員而言，顯然本發(fā)明不限于上述示范性實(shí)施例的細(xì)節(jié)，而且在不背離本發(fā)明的精神或基本特征的情況下，能夠以其他的具體形式實(shí)現(xiàn)本發(fā)明。因此，無論從哪一點(diǎn)來看，均應(yīng)將實(shí)施例看作是示范性的，而且是非限制性的，本發(fā)明的范圍由所附權(quán)利要求而不是上述說明限定，因此旨在將落在權(quán)利要求的等同要件的含義和范圍內(nèi)的所有變化囊括在本發(fā)明內(nèi)。不應(yīng)將權(quán)利要求中的任何附圖標(biāo)記視為限制所涉及的權(quán)利要求。