一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代方法
【專利摘要】本發(fā)明公開了一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代方法，包括：建立非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的矩函數(shù)方程；采用高斯截?cái)嗉夹g(shù)，建立狀態(tài)響應(yīng)的封閉矩函數(shù)方程；建立時(shí)域內(nèi)的多尺度離散區(qū)間；采用Runge?Kutta方法，在多尺度區(qū)間內(nèi)迭代求解狀態(tài)響應(yīng)的封閉矩函數(shù)方程，最終獲得非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征。本發(fā)明的多尺度迭代方法可以避免同時(shí)求解三個(gè)隨機(jī)微分方程，不僅節(jié)省了大量的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)資源，而且極大地提高了計(jì)算效率。此外，通過(guò)誤差控制和初值設(shè)置可以自動(dòng)調(diào)節(jié)迭代次數(shù)，實(shí)現(xiàn)求解過(guò)程的加速收斂。本發(fā)明為大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)分析提供了高效的求解方法，具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。
【專利說(shuō)明】
-種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代 方法
技術(shù)領(lǐng)域
[0001] 本發(fā)明主要是適用于大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征的高效求解 計(jì)算，具體設(shè)及一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 地震，風(fēng)載W及海上風(fēng)浪是常見的環(huán)境載荷。在長(zhǎng)期受到環(huán)境載荷作用下，人造結(jié) 構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)會(huì)影響結(jié)構(gòu)的功能和安全性。因此，結(jié)構(gòu)在環(huán)境載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析 尤為重要。由于環(huán)境載荷通常處理為隨機(jī)過(guò)程，在動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析時(shí)需要建立并求解隨機(jī)微 分方程。
[0003] Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK)方法廣泛用于建立非線性隨機(jī)系統(tǒng)微分方程， 該方法建立的方程本質(zhì)上等價(jià)于I錠隨機(jī)微分方程。然而，在平穩(wěn)相關(guān)激勵(lì)情況下，只有當(dāng) 外部隨機(jī)激勵(lì)可表示為白噪聲濾波，F(xiàn)PK方法才能夠使用。盡管借助隨機(jī)平均方法和濾波方 法促進(jìn)了FPK方法的應(yīng)用，然而該方法仍然存在兩方面缺點(diǎn)：一方面，外部隨機(jī)激勵(lì)必須為 delta相關(guān)隨機(jī)過(guò)程或者可表示為白噪聲濾波；另一方面，該方法增加了系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)量。 在運(yùn)種情況下，一些學(xué)者更加重視統(tǒng)計(jì)矩函數(shù)方法的研究。例如，Lutes等研究了在delta相 關(guān)隨機(jī)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并提出了一種建立響應(yīng)矩函數(shù)方程和累積量函數(shù)方 程的相對(duì)直接表達(dá)式。Di Paola等采用多項(xiàng)式形式的高斯濾波作為外部隨機(jī)激勵(lì)，研究了 非線性系統(tǒng)的響應(yīng)，獲得了非高斯響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征。正如上面提到的，許多研究工作集中在 非線性動(dòng)力響應(yīng)分析。然而，絕大多數(shù)理論研究忽略了矩函數(shù)方程數(shù)值求解效率的改進(jìn)研 究。顯然，低效的數(shù)值求解算法會(huì)導(dǎo)致非線性動(dòng)力響應(yīng)分析方法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)遇到困難，特 別是大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。此外，delta相關(guān)隨機(jī)激勵(lì)常常被用于建立非線性系統(tǒng)的 矩函數(shù)方程，但是運(yùn)種隨機(jī)過(guò)程并不能準(zhǔn)確描述環(huán)境載荷的特征。實(shí)際上，邱志平等已經(jīng)研 究了受環(huán)境載荷作用的動(dòng)力系統(tǒng)并指出采用直接概率法建立狀態(tài)響應(yīng)的矩函數(shù)方程十分 有效，然而，該研究工作僅適用于線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)問(wèn)題。
[0004] 本發(fā)明針對(duì)受到環(huán)境載荷作用的非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，采用直接概率法建立狀態(tài) 響應(yīng)的矩函數(shù)方程。建立時(shí)域內(nèi)的多尺度離散區(qū)間，在多尺度區(qū)間內(nèi)迭代求解狀態(tài)響應(yīng)的 封閉矩函數(shù)方程，最終獲得狀態(tài)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征。本發(fā)明為大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀 態(tài)分析提供了高效的求解方法，具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0005] 本發(fā)明的目的在于克服現(xiàn)有技術(shù)的不足，提供一種求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系 統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代方法，避免同時(shí)求解=個(gè)隨機(jī)微分方程，實(shí)現(xiàn)求解過(guò)程的快速高效計(jì) 算，為大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)分析提供了有效的計(jì)算方法，具有現(xiàn)實(shí)的工程應(yīng)用 價(jià)值。
[0006] 為實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明提供的一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的 多尺度迭代方法，該方法實(shí)現(xiàn)步驟如下：
[0007] 步驟一、基于非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過(guò)直接概率法建立非線性系統(tǒng)狀 態(tài)響應(yīng)的矩函數(shù)方程；
[0008] 步驟二、采用高斯截?cái)嗉夹g(shù)對(duì)狀態(tài)響應(yīng)矩函數(shù)方程中的非封閉項(xiàng)進(jìn)行截?cái)?，建?狀態(tài)響應(yīng)的封閉矩函數(shù)方程；
[0009] 步驟=、將整個(gè)分析時(shí)間段離散為多個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間，再在每一個(gè)粗尺度時(shí)間 區(qū)間內(nèi)進(jìn)行細(xì)尺度時(shí)間離散，最終建立時(shí)域內(nèi)的多尺度離散區(qū)間；
[0010] 步驟四、在粗尺度時(shí)間區(qū)間[ti，tw讓，采用Runge-Kutta方法同時(shí)求解封閉的狀 態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程和封閉的狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程，得到狀態(tài)響應(yīng)均值 的和狀態(tài)響應(yīng)均方值始V，。;
[00川步驟五、判斷狀態(tài)響應(yīng)均值 <的和狀態(tài)響應(yīng)均方值嫂知)的收斂性，如果結(jié)果收 斂，跳轉(zhuǎn)到步驟屯;如果結(jié)果不收斂，繼續(xù)執(zhí)行步驟六；
[001 ^ 步驟六、將步驟四中得到的狀態(tài)響應(yīng)均值/Hf (0和狀態(tài)響應(yīng)均方值城1 "，0代入封 閉的狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)方程，計(jì)算狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)始也O，令k = k+ 1，跳轉(zhuǎn)到步驟四；
[0013] 步驟屯、判斷時(shí)間條件是否滿足t《T，如果滿足條件，令i = i + l且k=l，跳轉(zhuǎn)到步 驟四；如果不滿足條件，輸出狀態(tài)響應(yīng)均值仍，狀態(tài)響應(yīng)均方值增V，〇和狀態(tài)響應(yīng)一激 勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)巧tv，?)，迭代終止。
[0014] 其中，步驟一中采用直接概率法建立非線性系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的矩函數(shù)方程，包括:狀 態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程、狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程和狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)方 程，具體表示為：
[0015] 狀態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程：
[0016]
[0017] 式中，Al, A3為系統(tǒng)矩陣，B為輸入矩陣，mx(t)為狀態(tài)響應(yīng)的均值函數(shù)，mu(t)為外部 隨機(jī)激勵(lì)的均值函數(shù)，Rxwx(t)為狀態(tài)響應(yīng)的聯(lián)合矩函數(shù)，符號(hào)V'為兩個(gè)向量的化damard 乘積，表示兩個(gè)向量各對(duì)應(yīng)元素相乘，乘積結(jié)果仍然為維數(shù)相同的向量。
[001引狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程：
[0019]
[0020] 式中，Rxx(t，〇為狀態(tài)響應(yīng)的均方值函數(shù)，(。) = C (叫為狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相 關(guān)矩函數(shù)，其余參數(shù)含義同上所述。
[0021 ]狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)方程：
[0022]
[0023]式中，Rux(t，t)為狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)，Ruu(t，t)為外部隨機(jī)激勵(lì)的均方 值函數(shù)，其余參數(shù)含義同上所述。
[0024] 其中，步驟二中采用高斯截?cái)嗉夹g(shù)建立狀態(tài)響應(yīng)的封閉矩函數(shù)方程，包括:封閉的 狀態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程、封閉的狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程和封閉的狀態(tài)響應(yīng)一激 勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)方程，具體表示為：
[0025] 卦閉的狀杰響應(yīng)的挽估巧巧數(shù)方巧；
[0026]
[0027]式中，各個(gè)參數(shù)含義同上所述。
[00%]封閉的狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程：
[0029]
[0030] 式中，各個(gè)參數(shù)含義同上所述。
[0031] 封閉的狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)方程：
[0032]
[0033] 式中，各個(gè)參數(shù)含義同上所述。
[0034] 其中，步驟=中采用等間隔離散方式建立時(shí)域內(nèi)的多尺度離散區(qū)間。首先，將整個(gè) 分析時(shí)間段[to, T]離散為多個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間[ti，tw]，具體表示為：
[0035] Dcoarse= Hi : to = t〇<h<...<tl = T}
[0036] 式中，to為初始時(shí)刻，ti = T為終止時(shí)刻，ti，i = 0，I，…，I為粗尺度時(shí)間區(qū)間的離散 時(shí)間點(diǎn)，I為粗尺度時(shí)間區(qū)間個(gè)數(shù)。
[0037] 其次，在每一個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間[ti，ti+i]內(nèi)進(jìn)行細(xì)尺度時(shí)間離散，得到細(xì)尺度時(shí) 間區(qū)間[ti, j，ti, j+i]，具體表示為：
[00；3 引
[0039] 式中，ti = ti,〇為第i+1個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間內(nèi)的初始時(shí)刻山,=知為第i+1個(gè)粗尺度 時(shí)間區(qū)間內(nèi)的終止時(shí)刻，ti, j，j = 0，1，…，J功細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間的離散時(shí)間點(diǎn)，Ji為第i+1個(gè) 粗尺度時(shí)間區(qū)間內(nèi)的細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間個(gè)數(shù)。
[0040] 其中，步驟四中Runge-Kutta方法的時(shí)間步長(zhǎng)是細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間[ti, j，ti, W]，狀態(tài) 響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程中的響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)取值為超|-1嗦，〇，具體表示為：
[0041]
[0042] 式中，各個(gè)參數(shù)含義同上所述。
[0043] 其中，步驟五中判斷結(jié)果收斂性的條件包括狀態(tài)響應(yīng)均值收斂條件和狀態(tài)響應(yīng)均 方值收斂條件，具體表示為：
[0044]
[0045] 式中，El為狀態(tài)響應(yīng)均值允許誤差，62為狀態(tài)響應(yīng)均方值允許誤差。
[0046] 其中，步驟六中W細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間為時(shí)間步長(zhǎng)，采用Runge-Kutta方法 單獨(dú)求解封閉的狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)方程，相關(guān)矩函數(shù)方程中的狀態(tài)響應(yīng)均值取
值為-祐乂化品嫩r古褲出於T媒太耐耐牛々古估百。估擊口*V' 目化擊幣為：
[0047]
[004引式中，各個(gè)參數(shù)含義同上所述。
[0049] 本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比的優(yōu)點(diǎn)在于:本發(fā)明提供了一種高效求解大規(guī)模非線性隨 機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代方法，主要優(yōu)點(diǎn)如下：
[0050] (1)本發(fā)明采用直接概率法建立非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的矩函數(shù)方程，不 需要考慮FPK方法設(shè)及的復(fù)雜計(jì)算。系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征可W根據(jù)初始條件和外部隨 機(jī)激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特征直接獲得，對(duì)于環(huán)境載荷激勵(lì)同樣適用；
[0051] (2)本發(fā)明提出了求解非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的矩函數(shù)方程的新算法，將 分析時(shí)間段離散為粗尺度時(shí)間區(qū)間和細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間，在多尺度區(qū)間內(nèi)迭代求解矩函數(shù)方 程，避免了同時(shí)求解=個(gè)隨機(jī)微分方程，節(jié)省了大量的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)資源；
[0052] (3)本發(fā)明通過(guò)誤差控制和初值設(shè)置可W根據(jù)收斂條件自動(dòng)調(diào)節(jié)迭代次數(shù)，實(shí)現(xiàn) 求解過(guò)程的加速收斂，極大地提高了計(jì)算效率，特別適用于求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系 統(tǒng)狀態(tài)分析問(wèn)題，具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。
【附圖說(shuō)明】
[0053] 圖1是本發(fā)明多尺度迭代方法實(shí)現(xiàn)流程圖；
[0054] 圖2是本發(fā)明實(shí)例中輸電塔架結(jié)構(gòu)；
[0055] 圖3是本發(fā)明實(shí)例中輸電塔架結(jié)構(gòu)3端垂直速度的均值;其中圖3(a)為3端垂直速 度均值的時(shí)間歷程;圖3(b)為圖3(a)的局部放大圖；
[0056] 圖4是本發(fā)明實(shí)例中輸電塔架結(jié)構(gòu)3端垂直位移的均值;其中圖4(a)為3端垂直位 移均值的時(shí)間歷程;圖4(b)為圖4(a)的局部放大圖；
[0057] 圖5是本發(fā)明實(shí)例中多尺度迭代方法和傳統(tǒng)方法的求解時(shí)間對(duì)比。
【具體實(shí)施方式】
[0058] 下面結(jié)合附圖W及具體實(shí)施例進(jìn)一步說(shuō)明本發(fā)明。
[0059] 如圖1所示，本發(fā)明提出了一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺 度迭代方法，其具體實(shí)現(xiàn)步驟是：
[0060] (1)基于非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)方程，采用直接概率法建立非線性系統(tǒng)狀態(tài)響 應(yīng)的矩函數(shù)方程，包括:狀態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程、狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程和狀態(tài) 響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)方程。
[0061 ] -個(gè)n自由度立方非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的控制方程表示為：
[00621 一 .，.一
一 ,.一 ， 口）
[0063]式中，M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，Cl, C3為系統(tǒng)阻尼矩陣，Ki, K3為系統(tǒng)剛度矩陣，Q(t)為外 部隨機(jī)激勵(lì)，y(t)，>(/)和別0分別為系統(tǒng)位移向量，速度向量和加速度向量，符號(hào)V'為兩 個(gè)向量的化damard乘積，表示兩個(gè)向量各對(duì)應(yīng)元素相乘，乘積結(jié)果仍然為維數(shù)相同的向量。 [0064]引入化維狀態(tài)向量和化維外部隨機(jī)激勵(lì)向量表不為：
[00 化]
@)
[0066] 非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的控制方程（1)可W改寫成非線性隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)方程，具體 表示為：
[0067]
(3)
[0068] 式中，Al，A3為系統(tǒng)矩陣，B為輸入矩陣，X (t)為系統(tǒng)狀態(tài)向量，U (t)為外部隨機(jī)激勵(lì) 向量，具體表示為：
[0069]
(4j
[0070] 對(duì)式(3)取數(shù)學(xué)期望，可W得到：
[0071]
貨
[0072] 定義狀態(tài)響應(yīng)的數(shù)學(xué)期望表達(dá)式：
[007；3]
觸
[0074] 式(5)可W改寫為狀態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程，具體表示為：
[0075]
(7)
[0076] 式中，
[0077]
腳
[0078] 根據(jù)隨機(jī)向量函數(shù)均方值的定義，可W得到：
[0079]
(>-))
[0080] 將式(3)及其轉(zhuǎn)置表達(dá)式代入式(9)，可W得到：
[00川
（10)
[0082] 對(duì)式(10)取數(shù)學(xué)期望，可W得到狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程，具體表示為：
[0083]
(11)
[0084] 式中，Rxx(t，t)為狀態(tài)響應(yīng)的均方值函數(shù)，
為狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的 相關(guān)矩函數(shù)，具體表示為：
[0085]
好巧
[0086] 類似的，根據(jù)狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩的定義，可W得到：
[0087]
(13)
[0088] 將式(3)的轉(zhuǎn)置代入式(13 )，可W得到：
[0089]
(14)
[0090] 對(duì)式(14)取數(shù)學(xué)期望，可W得到狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)方程，具體表示為：
[0091]
(:1巧
[0092] 式中，Rux(t，t)為狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)，Ruu(t，t)為外部隨機(jī)激勵(lì)的均方 值函數(shù)，具體表示為：
[0093]
(16)
[0094] (2)采用高斯截?cái)嗉夹g(shù)建立狀態(tài)響應(yīng)的封閉矩函數(shù)方程，包括:封閉的狀態(tài)響應(yīng)的 均值矩函數(shù)方程、封閉的狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程和封閉的狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩 函數(shù)方程。
[0095] 式（7)，式（11)和式（15)中的高階非封閉項(xiàng)分別為Rxwx(t)，Ruwx)x(t，tWP Ru(xwx)(t，t)，對(duì)高階非封閉項(xiàng)應(yīng)用高斯截?cái)嗉夹g(shù)可W得到：
[0096]
(17)
[0097] 將式(17)分別代入式(7)，式(11)和式(15)中，可W得到：
[0098] 封閉的狀態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程：
[0099]
(18)
[0100] 封閉的狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程：
[0101]
(巧）
[0102] 封閉的狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)方程：
[0103]
(2巧
[0104] (3)建立時(shí)域內(nèi)的多尺度離散區(qū)間。首先，將整個(gè)分析時(shí)間段[to,T]平均離散為等 間隔的時(shí)間區(qū)間[ti，ti+i ]，稱為粗尺度時(shí)間區(qū)間，具體表示為：
[0105] Dcoarse={ti:t〇 = t〇<h<...<tl = T} (21)
[0106] 式中，to為初始時(shí)刻，ti = T為終止時(shí)刻，ti，i = 0，1，…，I為粗尺度時(shí)間區(qū)間的離散 時(shí)間點(diǎn)，I為粗尺度時(shí)間區(qū)間個(gè)數(shù)。
[0107] 其次，再將每一個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間Ui，ti+i]平均離散為等間隔的子區(qū)間[ti, J， ti, W]，稱為細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間，具體表示為：
[010引
鮮）
[0109] 式中，= 為第i+1個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間內(nèi)的初始時(shí)刻
^第1+1個(gè)粗尺度 時(shí)間區(qū)間內(nèi)的終止時(shí)刻，ti, j，j = 0，1，…，J功細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間的離散時(shí)間點(diǎn)，Ji為第i+1個(gè) 粗尺度時(shí)間區(qū)間內(nèi)的細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間個(gè)數(shù)。
[0110] (4)在粗尺度時(shí)間區(qū)間[ti，ti+1 ]上，采用Runge-Kutta方法同時(shí)求解封閉的狀態(tài)響 應(yīng)的均值矩函數(shù)方程和封閉的狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程。
[0111] Runge-Kutta方法的時(shí)間步長(zhǎng)取為細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度A t = 在進(jìn)行第 k次迭代計(jì)算時(shí)，狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程中的響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)取值為 巧直-"(/，0,具體表示為： (23)
[0112]
[0113] 在粗尺度時(shí)間區(qū)間[ti，ti+i]上進(jìn)行第1次迭代計(jì)算時(shí)（即k= I)，響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān) 矩函數(shù)*思(W)取值為該時(shí)間區(qū)間初始時(shí)刻的響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩R U X ( t i，t i )，即
[0114] (5)判斷狀態(tài)響應(yīng)均值/，!門〇和狀態(tài)響應(yīng)均方值觀(W)的收斂性，判斷收斂性的條 件具體表示為：
[0115]
(24)
[0116] 式中，El為狀態(tài)響應(yīng)均值允許誤差，62為狀態(tài)響應(yīng)均方值允許誤差。
[0117] 如果相鄰兩次迭代結(jié)果滿足式(24)的不等式條件，則結(jié)果收斂，跳轉(zhuǎn)到步驟(7); 否則結(jié)果不收斂，繼續(xù)執(zhí)行步驟(6)。
[011引（6)根據(jù)步驟(4)中得到的狀態(tài)響應(yīng)均值》:嚴(yán)(0和狀態(tài)響應(yīng)均方值i?皆(。)，在粗尺 度時(shí)間區(qū)間[ti，tw]上采用Runge-Kutta方法單獨(dú)求解封閉的狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函 數(shù)方程。
[0119] Runge-Kutta方法的時(shí)間步長(zhǎng)取為細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度At = ti, j+廣ti, j，在進(jìn)行第 k次迭代計(jì)算時(shí)，狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)方程中的狀態(tài)響應(yīng)均值和狀態(tài)響應(yīng)均方值 分別取值為W產(chǎn)的和始也〇,具體表示為：
[0120]
腳 12345 當(dāng)式(25)求解完成后，令k = k+l，跳轉(zhuǎn)到步驟(4)，繼續(xù)下一次迭代求解。 2 (7)判斷時(shí)間條件是否滿足t《T，如果滿足條件，令i = i + l且k=l，跳轉(zhuǎn)到步驟 (4)，繼續(xù)下一個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間的第一次迭代求解;如果不滿足條件，輸出狀態(tài)響應(yīng)均值 化f…，狀態(tài)響應(yīng)均方值巧復(fù)(r，。和狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)化V，"，迭代終止。 3 實(shí)施例； 4 1.結(jié)構(gòu)參數(shù)及模型介紹 5 為了更充分的了解該發(fā)明的特點(diǎn)及其對(duì)工程實(shí)際的適用性，本發(fā)明W圖2所示的 輸電塔架結(jié)構(gòu)為例說(shuō)明多尺度迭代方法高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的 有效性。圖4中的塔架結(jié)構(gòu)主要由管材組成，截面分為兩種，四條邊上為主要立柱，矩形截面 為niSOXlSOXAmm,其余的管截面為〇50X5mm。材料的彈性模量為2.06 X 1 〇5MPa，泊松比 為0.3。塔架在底部四處基座處固定，6處懸臂端部承受向下的集中載荷作用F(t)=-psin(4 )，其中P為隨機(jī)參數(shù)，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為iip = 1960N和Op = 100。假設(shè)結(jié)構(gòu)的剛度是非 線性的，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非線性控制微分方程表示為：
[0126]
(26)
[0127] 式中，M和K分別為線性質(zhì)量矩陣和線性剛度矩陣，F(xiàn)(t)為外部隨機(jī)激勵(lì)。
[0128] 2.多尺度迭代程序及運(yùn)行環(huán)境
[0129] 根據(jù)多尺度迭代方法，結(jié)合現(xiàn)有的確定性有限元分析程序，采用Matlab設(shè)計(jì)了隨 機(jī)有限元分析程序。在該程序中，結(jié)構(gòu)的幾何模型和有限元網(wǎng)格模型由確定性有限元分析 程序產(chǎn)生。在本實(shí)施例中，輸電塔架結(jié)構(gòu)的線性質(zhì)量矩陣和線性剛度矩陣采用MSC/化Stran 有限元軟件建立，并采用化Stran中的DMAP提取。系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征分析在Matlab R2012上執(zhí)行，計(jì)算機(jī)的處理器為3.40G化Intel(R)Core(TM)i7四核處理器。
[0130] 3.系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征
[0131] 基于非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)方程，采用直接概率法可W獲得在外部隨機(jī)激勵(lì)作 用下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征。圖3和圖4分別給出了懸臂端3處垂直速度均值的時(shí) 間歷程和垂直位移均值的時(shí)間歷程。為了比較結(jié)果的有效性，圖中同時(shí)給出了Monte化rlo 模擬獲得的結(jié)果。在隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析中，Monte Carlo模擬結(jié)果被認(rèn)為是精確結(jié)果。從圖3(a) 和圖4(a)中可W看到直接概率方法獲得的狀態(tài)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征與Monte Carlo模擬結(jié)果具有 很好的一致性。從局部放大圖可W清晰地看到兩種方法結(jié)果的微小差異，運(yùn)種差異來(lái)源于 高斯截?cái)喾ㄒ鸬慕財(cái)嗾`差。對(duì)于工程問(wèn)題，運(yùn)種微小的差異完全可W忽略不計(jì)，因此，直 接概率法得到的狀態(tài)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。
[0132] 4.多尺度迭代方法與傳統(tǒng)方法對(duì)比分析
[0133] 采用多尺度迭代方法可W避免同時(shí)求解=個(gè)隨機(jī)微分方程，提高非線性系統(tǒng)狀態(tài) 響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征的求解效率，從而為大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)分析提供了高效的計(jì)算 方法，促進(jìn)了隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析方法的工程應(yīng)用。
[0134] 為了說(shuō)明多尺度迭代方法的計(jì)算效率，本實(shí)施例考慮了五種不同規(guī)模的塔架結(jié)構(gòu) 有限元模型。五種模型的有限元單元數(shù)量從488增加到920,相應(yīng)的自由度數(shù)量從1500增加 到2844。在本實(shí)施例的多尺度迭代方法中，粗尺度時(shí)間取值為Atcnarse = O.05s，細(xì)尺度時(shí)間 取值為Atfine = O.0125s。表1列出了不同規(guī)模問(wèn)題的多尺度迭代方法和傳統(tǒng)方法的求解時(shí) 間W及兩種方法耗時(shí)之比。從表中可W看到，隨著求解問(wèn)題規(guī)模的增加，傳統(tǒng)方法的計(jì)算時(shí) 間從510.544s到633.114s，而多尺度迭代方法的計(jì)算時(shí)間從409.021s到487.245s。相比傳 統(tǒng)方法，多尺度迭代方法花費(fèi)了較少的計(jì)算時(shí)間。此外，表1中的多尺度迭代方法與傳統(tǒng)方 法的耗時(shí)之比大約在76%到80%之間。由此可見，多尺度迭代方法節(jié)省了大量的計(jì)算時(shí)間， 特別是大規(guī)模工程問(wèn)題，節(jié)省的時(shí)間是非常顯著的。根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，圖5給出了多尺度迭 代方法和傳統(tǒng)方法的求解時(shí)間對(duì)比的曲線圖。
[0135] 表1
[0136]
[0137] 針對(duì)輸電塔架結(jié)構(gòu)，采用本發(fā)明多尺度迭代方法求解了狀態(tài)響應(yīng)的封閉矩函數(shù)方 程，獲得了狀態(tài)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征。該方法避免了同時(shí)求解=個(gè)隨機(jī)微分方程，實(shí)現(xiàn)了求解過(guò) 程的快速高效計(jì)算。W上實(shí)例驗(yàn)證了本發(fā)明方法高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài) 響應(yīng)的可行性和優(yōu)越性。
[0138] W上僅是本發(fā)明的具體步驟，對(duì)本發(fā)明的保護(hù)范圍不構(gòu)成任何限制。
[0139] 本發(fā)明未詳細(xì)闡述部分屬于本領(lǐng)域技術(shù)人員的公知技術(shù)。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代方法，其特征在于實(shí)現(xiàn) 步驟如下： 步驟一、基于非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過(guò)直接概率法建立非線性系統(tǒng)狀態(tài)響 應(yīng)的矩函數(shù)方程，其中包括:狀態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程、狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程和 狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)方程； 步驟二、采用高斯截?cái)嗉夹g(shù)對(duì)狀態(tài)響應(yīng)矩函數(shù)方程中的非封閉項(xiàng)進(jìn)行截?cái)?，建立狀態(tài) 響應(yīng)的封閉矩函數(shù)方程，其中包括:封閉的狀態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程、封閉的狀態(tài)響應(yīng)的 均方值矩函數(shù)方程和封閉的狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)方程； 步驟三、將整個(gè)分析時(shí)間段離散為多個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間，再在每一個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間 內(nèi)進(jìn)行細(xì)尺度時(shí)間離散，最終建立時(shí)域內(nèi)的多尺度離散區(qū)間； 步驟四、在粗尺度時(shí)間區(qū)間[ti，ti+ι]上，采用Runge-Kutta方法同時(shí)求解封閉的狀態(tài)響 應(yīng)的均值矩函數(shù)方程和封閉的狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程，得到狀態(tài)響應(yīng)均值W和 狀態(tài)響應(yīng)均方值(U); 步驟五、判斷狀態(tài)響應(yīng)均值和狀態(tài)響應(yīng)均方值的收斂性，如果結(jié)果收斂， 跳轉(zhuǎn)到步驟七;如果結(jié)果不收斂，繼續(xù)執(zhí)行步驟六； 步驟六、將步驟四中得到的狀態(tài)響應(yīng)均值(0和狀態(tài)響應(yīng)均方值(M)代入封閉的狀 態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)方程，計(jì)算狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)Kf(M)，令k = k+Ι，跳轉(zhuǎn) 到步驟四； 步驟七、判斷時(shí)間條件是否滿足t<T，如果滿足條件，令i = i+l且k=l，跳轉(zhuǎn)到步驟四； 如果不滿足條件，輸出狀態(tài)響應(yīng)均值狀態(tài)響應(yīng)均方值和狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān) 矩函數(shù)iC? (U)，迭代終止。2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代 方法，其特征在于:步驟一中采用直接概率法建立非線性系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的矩函數(shù)方程，其中 包括： 狀態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程：式中，Ai，A3為系統(tǒng)矩陣，B為輸入矩陣，mx(t)為狀態(tài)響應(yīng)的均值函數(shù)，mu(t)為外部隨機(jī) 激勵(lì)的均值函數(shù)，Rx_x(t)為狀態(tài)響應(yīng)的聯(lián)合矩函數(shù)，符號(hào)V'為兩個(gè)向量的Hadamard乘積， 表示兩個(gè)向量各對(duì)應(yīng)元素相乘，乘積結(jié)果仍然為維數(shù)相同的向量； 狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程：式中，Rxx(t，t)為狀態(tài)響應(yīng)的均方值函數(shù)，凡.木f) = C (U)為狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩 函數(shù)，其余參數(shù)含義同上所述； 狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)方程：式中，Rux(t，t)為狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)，Ruu(t，t)為外部隨機(jī)激勵(lì)的均方值函 數(shù)，其余參數(shù)含義同上所述。3. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代 方法，其特征在于：步驟二中采用高斯截?cái)嗉夹g(shù)建立狀態(tài)響應(yīng)的封閉矩函數(shù)方程，其中包 括： 封閉的狀態(tài)響應(yīng)的均值矩函數(shù)方程：式中，各個(gè)參數(shù)含義同上所述。4. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代 方法，其特征在于:步驟三中采用等間隔離散方式建立時(shí)域內(nèi)的多尺度離散區(qū)間，首先，將 整個(gè)分析時(shí)間段[to，T]離散為多個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間[tbtw]，具體表示為： Dcoarse {ti： to = to<ti<---<ti = T} 式中，to為初始時(shí)刻，tI=T為終止時(shí)刻，^4=〇，1，…，I為粗尺度時(shí)間區(qū)間的離散時(shí)間 點(diǎn)，I為粗尺度時(shí)間區(qū)間個(gè)數(shù)； 其次，在每一個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間[^，^+1]內(nèi)進(jìn)行細(xì)尺度時(shí)間離散，得到細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間 [ti,j，ti,j+l]，具體表不為： 瑞L = < 巧.1. (''Ji 二 '1.4.1 } 式中，tFtM為第i + Ι個(gè)粗尺度時(shí)間區(qū)間內(nèi)的初始時(shí)刻，tuFtw為第i + Ι個(gè)粗尺度時(shí) 間區(qū)間內(nèi)的終止時(shí)刻，t^，j = 0，l，…，J1為細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間的離散時(shí)間點(diǎn)，J1為第i+Ι個(gè)粗 尺度時(shí)間區(qū)間內(nèi)的細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間個(gè)數(shù)。5. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代 方法，其特征在于:步驟四中Runge-Kutta方法的時(shí)間步長(zhǎng)是細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間[ti, j，ti, j+ι]， 狀態(tài)響應(yīng)的均方值矩函數(shù)方程中的響應(yīng)一激勵(lì)相關(guān)矩函數(shù)取值為ie<(u)，具體表示為：式中，各個(gè)參數(shù)含義同上所述。6. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代 方法，其特征在于:步驟五中判斷結(jié)果收斂性的條件包括狀態(tài)響應(yīng)均值收斂條件和狀態(tài)響 應(yīng)均方值收斂條件，具體表示為：式中，ει為狀態(tài)響應(yīng)均值允許誤差，ε2為狀態(tài)響應(yīng)均方值允許誤差。7. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種高效求解大規(guī)模非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的多尺度迭代 方法，其特征在于:步驟六中以細(xì)尺度時(shí)間區(qū)間[ti, j，ti, j+i]為時(shí)間步長(zhǎng)，采用Runge-Kutta 方法單獨(dú)求解封閉的狀態(tài)響應(yīng)一激勵(lì)的相關(guān)矩函數(shù)方程，其中，狀態(tài)響應(yīng)均值取值為式中，各個(gè)參數(shù)含義同上所述。
【文檔編號(hào)】G06F17/15GK106021186SQ201610317868
【公開日】2016年10月12日
【申請(qǐng)日】2016年5月13日
【發(fā)明人】邱志平, 呂 崢, 王曉軍, 朱靜靜, 陳瀟, 蔣文婷
【申請(qǐng)人】北京航空航天大學(xué)