一種分析裂紋萌生的新型二次插值有限元法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明屬于固體力學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，涉及一種分析裂紋萌生的新型二次插值有限元 法。
【背景技術(shù)】
[0002] 最近，一種新的插值重構(gòu)有限元法（TFEM)被用于解決固體力學(xué)問(wèn)題。在TFEM中， 插值函數(shù)是通過(guò)兩個(gè)階段的連續(xù)插值得到的，即通過(guò)傳統(tǒng)有限元法得到的插值函數(shù)在第二 階段的插值中被重構(gòu)。傳統(tǒng)有限元插值得到的節(jié)點(diǎn)梯度是不連續(xù)的，插值重構(gòu)的過(guò)程是利 用了第一次插值得到的平均節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)再次進(jìn)行帶導(dǎo)數(shù)的插值。因此，TFEM構(gòu)造的形函數(shù)具 有節(jié)點(diǎn)梯度場(chǎng)連續(xù)的重要性質(zhì)。已經(jīng)證明，TFEM表現(xiàn)出了比傳統(tǒng)有限元更好的精度與收斂 性，在求解含缺陷結(jié)構(gòu)的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)高效且精度高。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0003] 本發(fā)明的目的在于提供基于插值重構(gòu)有限元法的裂紋萌生分析方法。
[0004] 本發(fā)明所采用的技術(shù)方案是1.基于插值重構(gòu)有限元法的裂紋萌生分析方法，其 特征在于按照以下步驟進(jìn)行：
[0005] 步驟1 :基于平面三角形的TFEM，給定一個(gè)典型的二維三角形單元，三角形單元的 三個(gè)頂點(diǎn)由節(jié)點(diǎn)i, j, m逆時(shí)針排列構(gòu)成，對(duì)于給定的插值點(diǎn)X，面積坐標(biāo)L為：
[0006]
[0007] 其中，Δ表示單元的面積，ap 1^和c ^十算如下：
[0008] Bi=Xjym-Xmyj
[0009] bi =Yj-Ym
[0010] Ci=Xm-Xj
[0011] Lj, a」,bj, Cj和Lm, am, bm, Cm通過(guò)i, j, m指標(biāo)循環(huán)實(shí)現(xiàn)；S i, Sj, Sm分別表示節(jié)點(diǎn)i, j, k 的相關(guān)聯(lián)單元集合，定義^為支撐點(diǎn)的位移：
[0012]
[0013] 其中，ns代表支撐點(diǎn)的總數(shù)，對(duì)于Si, S，Smrt的任意一點(diǎn)，U(X)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的重組：
[0014]
[0015] 節(jié)點(diǎn)i的平均導(dǎo)數(shù)計(jì)算如下：
[0016]
[0017]
[0018]
[0019]
[0020] 其中，Δ 6代表單元e的面積；
[0021] 步驟2 :第二階段插值重構(gòu)；在第二個(gè)插值階段，試探函數(shù)通過(guò)以下方式進(jìn)行重 構(gòu)：
[0022]
[0023] 而Φ?, Φ?χ, <^應(yīng)該滿(mǎn)足以下插值關(guān)系：
[0024]
[0025]
[0026]
[0027] 其中，1代表下標(biāo)i，j，m中的任意一個(gè)，Φ』，Φ# Φ#和Φ π，Φ"，Φ胃應(yīng)滿(mǎn)足相似 的關(guān)系，δ η滿(mǎn)足：
[0028]
[0029]
[0030]
[0031]
[0032] 構(gòu)造 Φρ Φ?χ, <^為如下格式滿(mǎn)足以上全部的插值關(guān)系，同時(shí)，Φ j, Φ jx, Φ jy和 t t，通過(guò)循環(huán)下標(biāo)i，J_，m實(shí)現(xiàn)；
[0033] 把C和Φ代入公式中，得到二維單純形單元上的插值重構(gòu)法公式如下：
[0034]
[0035]
[0036] 本發(fā)明的有益效果是本發(fā)明方法分析經(jīng)典斷裂力學(xué)問(wèn)題得到的裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因 子與經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題的解析解基本一致；并將裂紋萌生及擴(kuò)展的分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值比較， 吻合良好。
【附圖說(shuō)明】
[0037] 圖1是平面三角形單元示意圖。
【具體實(shí)施方式】
[0038] 下面結(jié)合【具體實(shí)施方式】對(duì)本發(fā)明進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。
[0039] 在比較關(guān)心和希望得到光滑應(yīng)力的區(qū)域采用插值重構(gòu)法，其余部位仍然采用傳統(tǒng) 的有限元法。本發(fā)明的差值重構(gòu)方法步驟如下：
[0040] 步驟1 :基于平面三角形的TFEM，第一階段的插值
[0041] 給定一個(gè)典型的二維三角形單元，三角形單元的三個(gè)頂點(diǎn)由節(jié)點(diǎn)i, j，m逆時(shí)針排 列構(gòu)成。圖1是插值重構(gòu)法在二維三角形單元中的示意圖。
[0042] 對(duì)于給定的插值點(diǎn)X，面積坐標(biāo)L為：
[0043]
[0044] 其中，Δ表示單元的面積，a。bjP c ^十算如下：
[0045] Bi= X Jym-XmYj
[0046] bi =Yj-Ym
[0047] Ci=Xm-Xj
[0048] Lj, a」,bj, cjP L m, am, bm, C1X 以通過(guò) i, j, m 指標(biāo)循環(huán)實(shí)現(xiàn)。
[0049] 傳統(tǒng)有限元中的試探函數(shù)為：
[0050] u(x) = NiUti^NjU [J]+Nmu[m]
[0051] Ni= L j, Nj= L j, Nm= L m
[0052] Si, Sj, Sm分別表示節(jié)點(diǎn)i, j, k的相關(guān)聯(lián)單元集合。能影響u(x)的節(jié)點(diǎn)（在無(wú)網(wǎng)格 法中稱(chēng)為支撐點(diǎn)）正是Si, S m中所包含的全部節(jié)點(diǎn)。定義q 3為支撐點(diǎn)的位移：
[0053]
[0054] 其中，ns代表支撐點(diǎn)的總數(shù).對(duì)于S i，S#P Sn^的任意一點(diǎn)，U(X)可以經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單 的重組，即：
[0055]
[0056] 節(jié)點(diǎn)i的平均導(dǎo)數(shù)計(jì)算如下：
[0057]
[0058]
[0059]
[0060]
[0061 ] 其中，Δ 6代表單元e的面積。
[0062] 步驟2 :第二階段插值（重構(gòu)）
[0063] 在第二個(gè)插值階段，試探函數(shù)通過(guò)以下方式進(jìn)行重構(gòu)：
[0064]
[0065] 而Φ?, Φ?χ, <^應(yīng)該滿(mǎn)足以下插值關(guān)系：
[0069] 其中，1代表下標(biāo)i，j，m中的任意一個(gè)，Φ# Φ#和Φ π，Φ"，Φ胃應(yīng)滿(mǎn)足相似的關(guān)系。δ u滿(mǎn)足：
[0066]
[0067]
[0068]
[0070]
[0071]
[0072]
[0073]
[0074] 構(gòu)造 Φρ Φ?χ，（i>iy為如下格式便可以滿(mǎn)足以上全部的插值關(guān)系。
[0075] 同時(shí)，Φ」，Φ」χ，Φ#和Φ Φ"，Φ胃通過(guò)循環(huán)下標(biāo)i，j，m實(shí)現(xiàn)。
[0076] 把巧]和Φ代入方程中，得到二維單純形單元上的插值重構(gòu)法公式如下：
[0077]
[0078]
[0079] 步驟3 :C°節(jié)點(diǎn)的特殊處理
[0080] 通過(guò)分析可以看出插值重構(gòu)法的試探函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上是C1連續(xù)的。這在大多數(shù)的情 況下是一個(gè)好的性質(zhì)，但有時(shí)也需要C°連續(xù)的節(jié)點(diǎn)，比如材料分界線上的節(jié)點(diǎn)和位移邊界 上的節(jié)點(diǎn)等。在TFEM中，只要作一個(gè)微小的調(diào)整，就可以滿(mǎn)足計(jì)算的需要。假設(shè)節(jié)點(diǎn)i應(yīng) 該是一個(gè)C°連續(xù)的節(jié)點(diǎn)，并且插值點(diǎn)X位于單元e內(nèi)，則只需要令
[0081]
[0082] 并且U乍同樣的處理?？梢宰C明，當(dāng)模型內(nèi)所有的節(jié)點(diǎn)都被設(shè)置為C°節(jié)點(diǎn) 的時(shí)候，插值重構(gòu)法將蛻化為傳統(tǒng)有限單元法，這也就意味著插值重構(gòu)法可以與傳統(tǒng)有限 元任意耦合。因此，在實(shí)際工程中可將傳統(tǒng)有限元法與插值重構(gòu)法結(jié)合起來(lái)，在比較關(guān)心和 希望得到光滑應(yīng)力的區(qū)域采用插值重構(gòu)法，其余部位仍然采用傳統(tǒng)的有限元法。
[0083] 本發(fā)明將TFEM發(fā)展用于解決斷裂力學(xué)問(wèn)題。插值重構(gòu)有限元法（TFEM)具有比傳 統(tǒng)有限元技術(shù)更好的精度和收斂性。本發(fā)明采用TFEM分析斷裂力學(xué)問(wèn)題，并進(jìn)行了數(shù)值試 驗(yàn)，以考察TFEM在裂紋萌生及動(dòng)態(tài)擴(kuò)展模擬中的準(zhǔn)確性與可靠性。由于使用TFEM可以保 證節(jié)點(diǎn)處梯度場(chǎng)的連續(xù)性，因此裂尖附近的應(yīng)力場(chǎng)可以得到很好的模擬，這個(gè)優(yōu)異特征有 助于顯著提高應(yīng)力強(qiáng)度因子的精度和收斂性。需要說(shuō)明的是：與傳統(tǒng)有限元比較，雖然插值 重構(gòu)有限元法使用導(dǎo)數(shù)二次插值，但并未因此增加模型的總體自由度。
[0084] 以上所述僅是對(duì)本發(fā)明的較佳實(shí)施方式而已，并非對(duì)本發(fā)明作任何形式上的限 制，凡是依據(jù)本發(fā)明的技術(shù)實(shí)質(zhì)對(duì)以上實(shí)施方式所做的任何簡(jiǎn)單修改，等同變化與修飾，均 屬于本發(fā)明技術(shù)方案的范圍內(nèi)。
【主權(quán)項(xiàng)】
1. 一種分析裂紋萌生的新型二次插值有限元法，其特征在于按照以下步驟進(jìn)行： 步驟1 :基于平面三角形的TFEM，給定一個(gè)典型的二維三角形單元，三角形單元的三個(gè) 頂點(diǎn)由節(jié)點(diǎn)i,j,m逆時(shí)針排列構(gòu)成，對(duì)于給定的插值點(diǎn)X，面積坐標(biāo)L為：其中，A表示單元的面積，ap4和c^十算如下： ai= x jy^yj bj= y j_ym Ci= Xm-Xj Lj,a」,bj, (3」和Lm,am,bm,cm通過(guò)i,j,m指標(biāo)循環(huán)實(shí)現(xiàn)；Si,Sj,Sm分別表示節(jié)點(diǎn)i,j,k的 相關(guān)聯(lián)單元集合，定義^為支撐點(diǎn)的位移：其中，ns代表支撐點(diǎn)的總數(shù)，對(duì)于Si，SjPSm內(nèi)的任意一點(diǎn)，u(x)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的重組：節(jié)點(diǎn)i的平均導(dǎo)數(shù)計(jì)算如下：其中，A6代表單元e的面積； 步驟2:第二階段插值重構(gòu)；在第二個(gè)插值階段，試探函數(shù)通過(guò)以下方式進(jìn)行重構(gòu)：而t，uiy應(yīng)該滿(mǎn)足以下插值關(guān)系：其中，1代表下標(biāo)i，j，m中的任意一個(gè)，t，（i>jx，（^和（i) m，，巾胃應(yīng)滿(mǎn)足相似的關(guān) 系，8n滿(mǎn)足：構(gòu)造巾i, 〇 &為如下格式滿(mǎn)足以上全部的插值關(guān)系，同時(shí)，巾j,巾jx,巾jy和tt，t通過(guò)循環(huán)下標(biāo)i，?]_，m實(shí)現(xiàn)； 把巧]和（}>代入公式中，得到二維單純形單元上的插值重構(gòu)法公式如下：
【專(zhuān)利摘要】本發(fā)明公開(kāi)了一種分析裂紋萌生的新型二次插值有限元法，采用TFEM分析斷裂力學(xué)問(wèn)題，并進(jìn)行了數(shù)值試驗(yàn)，以考察TFEM在裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展模擬中的準(zhǔn)確性與可靠性。由于使用TFEM可以保證節(jié)點(diǎn)處梯度場(chǎng)的連續(xù)性，因此裂尖附近的應(yīng)力場(chǎng)可以得到很好的模擬。
【IPC分類(lèi)】G06F17/50
【公開(kāi)號(hào)】CN104915489
【申請(qǐng)?zhí)枴緾N201510293008
【發(fā)明人】吳圣川, 張思齊
【申請(qǐng)人】西南交通大學(xué)
【公開(kāi)日】2015年9月16日
【申請(qǐng)日】2015年6月1日